Question

Пожалуйста, срочно! Стороны треугольника ABC равны 5 см, 6 см и 7 см. Определите длины отрезков, на которые эти стороны разбиваются точками касания вписанной окружности.

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится формула, связывающая радиус вписанной окружности с длинами сторон треугольника:

$r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$

где $r$ - радиус вписанной окружности, $a$, $b$, $c$ - длины сторон треугольника, а $p$ - полупериметр треугольника:

$p = \frac{a+b+c}{2}$

В данной задаче имеем стороны треугольника $a=5$, $b=6$, $c=7$. Полупериметр $p$ равен:

$p = \frac{5+6+7}{2} = 9$

Теперь можем вычислить радиус вписанной окружности:

$r = \sqrt{\frac{(9-5)(9-6)(9-7)}{9}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{9}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

Далее, поскольку точки касания вписанной окружности с каждой стороной делят эту сторону на две равные части, мы можем использовать теорему о пропорциональности отрезков, проведенных из вершины треугольника к точкам касания. Согласно этой теореме, отношение длины каждого отрезка к длине соответствующей стороны треугольника равно разности полупериметра треугольника и длины этой стороны, деленной на радиус вписанной окружности:

$\frac{x}{a} = \frac{p-a}{r}$

$\frac{y}{b} = \frac{p-b}{r}$

$\frac{z}{c} = \frac{p-c}{r}$

где $x$, $y$, $z$ - длины отрезков, на которые стороны треугольника разбиваются точками касания вписанной окружности.

Подставляя значения, получаем:

$\frac{x}{5} = \frac{9-5}{\frac{2\sqrt{6}}{3}} = \frac{12\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = 6$

$x = 5 \cdot 6 = 30$

Аналогично:

$\frac{y}{6} = \frac{9-6}{\frac{2\sqrt{6}}{3}} = \frac{9\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = \frac{9}{2}$

$y = 6 \cdot \frac{9}{2} = 27$

$\frac{z}{7} = \frac{9-7}{\frac{2\sqrt{6}}{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = 3$

$z =