Question

Народ срочно помогите!!! Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точки M и N - середины ребер AB и SC. 1 Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую MN параллельно SA. 2 Найдите угол между прямыми SA и MN , если боковое ребро пирамиды равно стороне основаниядам 72 балла!

Answer 1

1) Так как по заданию дана правильная четырехугольная пирамида с равными рёбрами, то боковые грани такой пирамиды - это равносторонние треугольники.

Из точки N проводим прямую, параллельную SA, до пересечения с плоскостью основания. В треугольнике ASC это средняя линия, точка пересечения прямой из точки N - это центр основания, точка О.

Через точки М и О проводим след сечения заданной плоскости с основанием. Этот след пересекает ребро СД в его середине - в точке К.

Так как отрезок МК параллелен ВС (это линия пересечения боковой грани BSC и основания, то в грани BSC из точки N проводим прямую, параллельную ВС. Отрезок NP - это след сечения заданной плоскостью грани BSC.

Осталось соединить точки М и Р и сечение готово.

Оно представляет собой равнобокую трапецию. Основание её равно стороне основания пирамиды, а остальные стороны трапеции как средние линии треугольников боковых граней равны половине стороны основания.

2) Угол между прямыми SA и MN найдём методом параллельного переноса.

Перенесём отрезок MN точкой М в точку А, то есть на половину стороны основания. Тогда точка N при сдвиге на половину стороны основания переместится в середину бокового ребра CSD (на длину средней линии этой грани). Получим медиану треугольника АSD.

Так как боковая грань - равносторонний треугольник с углами по 60 градусов, то угол между ребром SA и медианой этой грани равен 30 градусов.

Answer 2

К сожалению, я не могу показать вам графическое изображение решения, но я могу объяснить, как его получить.

1. Поскольку плоскость проходит через прямую MN параллельно SA, то она будет параллельна основанию SABCD, а значит, сечение будет четырехугольником, который будет подобен основанию SABCD.

2. Чтобы найти угол между прямыми SA и MN, можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника SMN. Для этого нужно вычислить длины сторон треугольника SMN. Заметим, что треугольники SAB и SCD являются прямоугольными, так как основания SAB и SCD перпендикулярны боковой грани SC.

Таким образом, мы можем найти длины всех сторон треугольника SMN:

• SM = SA/2 (так как M - середина AB)
• SN = SC/2 (так как N - середина SC)
• MN = (AB + SC)/2 (так как M и N - середины соответствующих ребер)

После подстановки значений в формулу теоремы Пифагора и упрощения получим:

(SA/2)^2 + (SC/2)^2 = MN^2

SA^2 + SC^2 = 4*MN^2

Теперь, используя теорему косинусов для треугольника SAS (треугольник с двумя сторонами и углом между ними), мы можем вычислить угол между прямыми SA и MN:

cos(∠SAN) = (MN^2 + SA^2 - SN^2)/(2MNSA)

cos(∠SAN) = (MN^2 + SA^2 - (SC/2)^2)/(2MNSA)

cos(∠SAN) = (MN^2 + SA^2 - SC^2/4)/(2MNSA)

Подставляем выражение для MN^2:

cos(∠SAN) = (AB^2 + SC^2 + SA^2)/(4ABSA)

Так как боковое ребро пирамиды равно стороне основания, то AB = BC = CD = AD, а значит:

cos(∠SAN) = (4AB^2 + SA^2)/(4AB*SA)

cos(∠SAN) = (4 + (SA/AB)^2)/8

Заменяем значение SA/AB на 1/√2, так как боковое ребро равно стороне основания, а значит, все боковые треугольники равнобедренные и прямоугольные: