Question

Две смежные стороны четырёхугольника, описанного около окружности, равны 10см и 16см, а две другие относятся как 2:3. Определите периметр четырёхугольника.

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Пусть стороны четырёхугольника, описанного около окружности, имеют длины $a$, $b$, $c$, и $d$, где $a$ и $b$ - смежные стороны, а $c$ и $d$ - противоположные стороны, которые делятся в отношении 2:3.

Так как $a$ и $b$ - смежные стороны, то они равны радиусу описанной окружности. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для радиуса описанной окружности в четырёхугольнике:

$$r = \frac{abcd}{4\sqrt{(a+c)(b+d)(a+d)(b+c)}}.$$

Подставляем известные значения:

$$r = \frac{10\cdot 16 \cdot c \cdot d}{4\sqrt{(10+c)(16+d)(10+d)(16+c)}}.$$

Также заметим, что отношение $c$ и $d$ равно 2:3, то есть $c = 2x$ и $d = 3x$ для некоторого числа $x$. Подставляем это в выражение для радиуса:

$$r = \frac{10\cdot 16 \cdot 2x \cdot 3x}{4\sqrt{(10+2x)(16+3x)(10+3x)(16+2x)}} = \frac{96x^2}{\sqrt{(10+2x)(16+3x)(10+3x)(16+2x)}}.$$

Теперь можем выразить $a$ и $b$ через $r$:

$$a = b = r = \frac{96x^2}{\sqrt{(10+2x)(16+3x)(10+3x)(16+2x)}}.$$

Осталось найти $c$ и $d$:

$$c = 2x a = \frac{192x^3}{\sqrt{(10+2x)(16+3x)(10+3x)(16+2x)}}.$$

$$d = 3x a = \frac{288x^3}{\sqrt{(10+2x)(16+3x)(10+3x)(16+2x)}}.$$

Периметр четырёхугольника равен $a+b+c+d$, поэтому:

$$\text{Периметр} = 2r + 5xa = \frac{192x^2}{\sqrt{(10+2x)(16+3x)(10+3x)(16+2x)}} + \frac{480x^3}{\sqrt{(10+2x)(16+3x)(10+3x)(16+2x)}}.$$

Теперь осталось только подставить $x$ и вычислить значение. Например, можно выбрать $x=1$, тогда:

\text{Периметр} = \frac{192}{\sqrt{1458}} + \frac{480}{\sqrt