Question

ГЕОМЕТРИЯ. РЕШИТЕ НЕ ТЕОРЕМОЙ СИНУСОВ. Даю 50 баллов. Правильный ответ отмечу Лучшим. В остроугольном треугольнике АВС АС=b, ∠A=α, ∠C=β. Выразите проекции сторон АВ и ВС на сторону АС.

Answer 1

В остроугольном треугольнике АВС АС=b, ∠A=α, ∠C=β. Выразите проекции сторон АВ и ВС на сторону АС.

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой синусов для треугольника АВС:

sin α / b = sin β / a = sin (180° - α - β) / c

где a, b и c - длины сторон противолежащих углов α, β и γ соответственно.

Мы можем выразить сторону AC через стороны AB и BC, используя теорему косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos γ

В нашем случае γ = 180° - α - β, поэтому:

cos γ = - cos (α + β)

c^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos (α + β)

Теперь мы можем выразить проекции сторон AB и BC на сторону AC. Обозначим эти проекции через h1 и h2 соответственно. Тогда:

h1 = b sin α

h2 = a sin β

Используя формулу синусов для треугольника АВС, мы можем выразить sin α и sin β через стороны треугольника:

sin α = b sin γ / c

sin β = a sin γ / c

Подставляя эти значения в выражения для проекций, получаем:

h1 = b^2 sin γ / c

h2 = a^2 sin γ / c

Используя выражение для стороны AC через стороны AB и BC, мы можем выразить sin γ через стороны треугольника:

sin γ = √(1 - (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab)

Подставляя это значение в выражения для проекций, получаем:

h1 = b^2 √(1 - (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab) / c

h2 = a^2 √(1 - (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab) / c

Таким образом, мы выразили проекции сторон AB и BC на сторону AC через стороны треугольника.