Question

Iз точки М до площини а проведено похилі МВ і МА, довжини яких відносяться як 5:7. Знайдіть відстань від точки М до площини о, якщо проекції похилих МВ і МА на цю площину дорівнюють 12 і 12корень2 см.​

Answer 1

.......................

Answer 2

Для розв'язання задачі скористаємося теоремою Піфагора в трьохвимірному просторі. Нехай точка М має координати (х, у, z), а площина а описується рівнянням Ax + By + Cz + D = 0.

За умовою задачі, проекції похилих МВ і МА на площину а мають довжини 12 см і 12√2 см відповідно. Позначимо ці проекції як В' і А' відповідно, а їхні координати у просторі як (х, у, 0) і (х, у, h) відповідно. Тут h - висота точки М над площиною а, яку ми хочемо знайти.

За теоремою Піфагора в трьохвимірному просторі, маємо:

МВ'² = МВ² + В'V² МА'² = МА² + А'A²,

де V - проекція точки В на площину а, а A - проекція точки А на цю площину. Так як довжини МВ' і МА' відомі, а МВ:МА = 5:7 за умовою задачі, ми можемо записати:

(5k)² + (12)² = (7k)² + (12√2)²,

де k - деяке число, яке визначає співвідношення між МВ і МА. Розв'язуючи це рівняння, отримуємо k = 12/5√3.

Тепер ми можемо знайти координати точок В і А:

В: (х, у, -60/√3) А: (х, у, h)

Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точки В і А. Вектор, що сполучає ці точки, має координати (0, 0, h + 60/√3). Оскільки цей вектор паралельний до площини а, ми можемо записати:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,

де (x0, y0, z0) - координати точки на прямій, через яку проходить вектор (0, 0, h + 60/√3), а A, B, C - коефіцієнти рівняння пло