Question

Докажите что прямые AA1 и C1D1 , а также прямые АА1 и B1D проходящие через вершины куба ABCDA1B1C1D1 являются скрещивающимися.

Answer 1

Прямые скрещивающиеся, если одна лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой.
Прямая АА1 лежит в плоскости (АА1D1), прямая D1С1 пересекает плоскость (АА1D1) в точке D1, D1 не принадлежит прямой АА1, значит они скрещивающиеся.
АА1 принадлежит плоскости (АВ1В), прямая В1D пересекает эту плоскость в точке В1, В1 не принадлежит АА1, значит они скрещивающиеся

Answer 2

Пусть $O$ - центр куба, $M$ - середина ребра $AB$. Тогда прямые $AA_1$ и $C_1D_1$ лежат в плоскости $A_1CD_1$, которая перпендикулярна ребру $A_1D_1$, а также проходит через центр куба $O$. Аналогично, прямые $AA_1$ и $B_1D$ лежат в плоскости $A_1B_1D$, которая также проходит через центр куба $O$. Таким образом, эти две плоскости пересекаются в линии $OA_1$, которая проходит через точки пересечения прямых $AA_1$ и $C_1D_1$, а также $AA_1$ и $B_1D$.

Но линия $OA_1$ проходит через середину ребра $AB$, и поскольку ребра $AB$ и $CD$ параллельны, то линия $OA_1$ также параллельна ребру $CD$. Таким образом, прямые $AA_1$ и $C_1D_1$, а также прямые $AA_1$ и $B_1D$ пересекаются в разных точках на бесконечности и, следовательно, являются скрещивающимися.