Question

В равнобедренном треугольнике ABC на основании AC взяты взяты точки K и P, так что углы ABK и PBC равны. Докажите, что треугольник KBP равнобедренный.

Answer 1

рассмотрим треугольники АВК и РВС они равны по стороне и прележащим двум углам(АВ=ВС, угол А= углу С т. к. треугольник АВС равнобедренный и угол АВК=РВС по условию) а в равных треугольниках напротив равных улов лежат равные стороны(угогл А=С то и КВ=ВР)

Answer 2

Чтобы доказать, что треугольник KBP равнобедренный, нужно показать, что его две боковые стороны равны.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то AB = BC. Из угла ABK мы знаем, что угол ABC равен углу ABK. А из угла PBC мы знаем, что угол BAC равен углу PBC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана AM (где M - середина BC) является высотой, биссектрисой и медианой. Значит, AM делит угол BAC пополам.

Из этого следует, что углы BAM и CAM равны. Но также из равенства углов ABC и ABK следует, что углы ABK и KBC равны. Значит, угол ABM равен углу KBC.

Аналогично, из равенства углов BAC и PBC следует, что угол PBM равен углу CAM.

Теперь рассмотрим треугольник KBP. Из углов ABM и PBM следует, что угол KBP равен углу KBC + CAM. А из равенства углов ABK и PBC следует, что угол KPB равен углу ABK + PBC.

Но углы KBC и CAM равны, а углы ABK и PBC также равны. Значит, угол KBP равен углу KPB.

Итак, мы доказали, что углы KBP и KPB равны, то есть треугольник KBP равнобедренный.