Question

Внутри параллелограмма АВСД отметили точку М . Докажите, что сумма площадей треугольника АВМ и СДМ равна площади треугольника ВСД

Answer 1

Противоположные стороны параллелограмма равны. АВ=СД. 
 Площадь Δ  АВМ равна АВ*МК:2
Площадь Δ  СМД равна СД*МЕ:2
Сумма этих площадей равна 
 АВ*МК:2 +СД*МЕ:2=(АВ*МК+СД*МЕ):2
Заменив   в данном выше выражении АВ на равную ей СД, получим СД*(МК+МЕ):2
Площадь Δ  ВСД равна СД*ВН:2
Но длина высоты ВН треугольника ВСД равна сумме высот треугольников АВМ и СДМ, т.е.   ВН=КМ+МЕ
Следовательно,
(S  Δ  АВМ + S  Δ  СДМ) = СД*ВН:2, т.е. площади Δ  ВСД, что и требовалось доказать. 

Answer 2

Чтобы доказать, что сумма площадей треугольника АВМ и СДМ равна площади треугольника ВСД, мы можем использовать свойства параллелограмма.

Заметим, что отрезок АМ и отрезок СМ делят параллелограмм на два треугольника, АВМ и СДМ, соответственно.

Также заметим, что отрезок АВ и отрезок СД - это диагонали параллелограмма.

Из свойства параллелограмма, диагонали которого пересекаются в точке О, мы знаем, что каждая диагональ делит параллелограмм на две равные по площади части.

Таким образом, мы можем записать:

площадь треугольника АВМ + площадь треугольника СДМ = 1/2 * (диагональ АВ) * (расстояние от точки М до диагонали АВ) + 1/2 * (диагональ СД) * (расстояние от точки М до диагонали СД)

Но так как диагонали АВ и СД равны, а расстояния от точки М до соответствующих диагоналей равны (это следует из того, что точка М лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей), мы можем записать:

площадь треугольника АВМ + площадь треугольника СДМ = 1/2 * (диагональ АВ + диагональ СД) * (расстояние от точки М до диагонали АВ или СД)

Таким образом, мы видим, что сумма площадей треугольников АВМ и СДМ равна половине произведения суммы диагоналей на расстояние от точки М до любой из диагоналей.

Но заметим также, что расстояние от точки М до любой из диагоналей равно высоте, опущенной на эту диагональ из точки М. А так как параллелограмм имеет пары равных сторон, то высота, опущенная из точки М на любую из диагоналей, равна расстоянию от точки М до противоположной стороны параллелограмма.

Таким образом, мы можем записать:

площадь треугольника АВМ + площадь треугольника СДМ = 1/2 * (диагональ АВ + диагональ СД) * (рас