Question

Геометрия. Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причем точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD и EF перпендикулярны.

Answer 1

Перечерти мой рисунок.
Далее рассматриваем тр.-ник  ECD.В нём EC=CD(следовательно треугольник равнобедренный) и проведён диаметр EK.Нам нужно доказать,что он (EK) перпендикулярен CD.Для этого строим FC и FD,опять равнобедренный треугольник FCD,где FC=FD.Из равенства углов ECD=CDE и FCD=FDC получаем,что ECK=KDE.Выходит,что треугольник ECF и EDF равны по двум сторонам и двум углам между ними.Из этого следует,что угол CEK=DEK.
Теперь вернёмся к треугольнику ECD.В нём EK-биссектрисса,а значит и медиана.Отсюда следует,что CK=KD.Теорема доказана.

Answer 2

Чтобы доказать, что прямые CD и EF перпендикулярны, нужно показать, что угол между ними равен 90 градусов.

Рассмотрим треугольники CEF и CDE. У них общая сторона CD, и каждый из них содержит две стороны окружностей, пересекающихся в точке C. Из этого следует, что углы CEF и CDE равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых.

Также заметим, что угол ECF равен 90 градусов, так как он является углом между радиусом EF и касательной к окружности с центром в точке F в точке C. Аналогично, угол DCE также равен 90 градусов, так как он является углом между радиусом DE и касательной к окружности с центром в точке E в точке C.

Таким образом, мы имеем два угла CEF и CDE, равных друг другу, и каждый из них равен 90 градусам. Следовательно, CD и EF перпендикулярны.