Question

На ребре AA1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка M, что AM:A1M=1:2. Расстояние между точкой М и серединой ребра B1C1 равно корень из 61. Найдите объём куба. Подробнее пожалуйста, желательно на листе бумаги.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для решения задачи можно использовать координатный метод. Пусть сторона куба равна a, тогда координаты точек имеют вид:

A(0,0,0), A1(a,0,0), B(a,a,0), B1(0,a,0), C(0,a,a), C1(a,a,a), D(a,0,a), D1(0,0,a).

Точка M находится на ребре AA1 и делит его в отношении 1:2, поэтому ее координаты можно найти как:

M = (2/3)*A1 + (1/3)*A = (2/3)ai + (2/3)aj + (1/3)ak

Середина ребра B1C1 имеет координаты:

M1 = (1/2)*(B1 + C1) = (1/2)aj + (1/2)ak

Расстояние между точкой М и серединой ребра B1C1 равно корень из 61:

|MM1| = sqrt((2/3a - 0)^2 + (2/3a - 1/2a)^2 + (1/3a - 1/2*a)^2) = sqrt(61)/3 * a

Так как расстояние известно, можно найти значение стороны куба:

a = sqrt(61) * 3

Объем куба равен:

V = a^3 = (sqrt(61)*3)^3 = 6711

Ответ: объем куба равен 6711.