Question

в прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CD. найдите углы треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника DBC в 3 раза больше треугольника ADC

Answer 1

В прямоугольном треугольнике высота является биссектрисой и медианой. Угол CD - прямой и равен 90. Высота CD поделила его на 2 угла по 45. В то же время, эта высота образовала прямой угол ADC. Теперь рассмотрим треугольник ADC. В нем угол ADC = 90°, угол DCA  = 45°, значит угол DAC = 180° - 90° - 45° = 45°.
Теперь в треугольнике АВС нам известны 2 угла: угол С = 90°, угол А = углу DCA  = 45°. Найдем угол В. Угол В = 180° - 90° - 45° = 45 °.

Answer 2

Пусть AB - гипотенуза треугольника ABC, а AC и BC - катеты. Также пусть угол BAC равен α, а углы ACB и ABC равны соответственно β и γ.

Так как CD - высота, то ADC и BDC - прямоугольные треугольники. Поэтому, площадь треугольника ABC равна:

S_ABC = (1/2)ABACsin(α) + (1/2)ABBCsin(β)

Так как CD - высота, то площадь треугольника ADC равна:

S_ADC = (1/2)ACCD

Площадь треугольника BDC равна:

S_BDC = (1/2)BCCD

Так как площадь треугольника BDC в 3 раза больше площади треугольника ADC, то:

S_BDC = 3*S_ADC

(1/2)BCCD = 3*(1/2)ACCD

BC = 3*AC

Из прямоугольного треугольника ADC получаем, что:

sin(α) = AC/AB

sin(β) = BC/AB = 3*AC/AB

Так как sin(α) и sin(β) известны, то мы можем найти углы α и β, используя таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор.

γ = 90° - α - β.

Таким образом, мы можем найти углы треугольника ABC, используя выражения для sin(α) и sin(β) и отношение катетов BC и AC.