Question

Биссектриса одного из углов делит параллелограмм на две части, разность периметров которых равна 10см. Найдите периметр параллелограмма, если стороны параллелограмма относятся как 4:9 + фото рисунка

Answer 1

Вот.................

Answer 2

Как мы видим на рисунке, биссектриса одного из углов параллелограмма делит его на две равные по площади части. Обозначим стороны параллелограмма через $a$ и $b$.

Так как биссектриса делит параллелограмм на две равные части, то каждая из этих частей имеет площадь, равную $S/2$, где $S$ - площадь всего параллелограмма. Поэтому площадь каждой из частей равна $ab/2$.

Обозначим через $c$ длину отрезка, на который биссектриса делит боковую сторону параллелограмма. Тогда, так как биссектриса делит угол пополам, имеем: $\frac{c}{b-c} = \frac{a}{b}.$ Отсюда выражаем $c$: $c = \frac{ab}{a+b}.$

Периметр первой части параллелограмма равен $2a+c$, а периметр второй части равен $2b-c$. По условию задачи, их разность равна 10: $(2a+c)-(2b-c) = 10,$ или $3c-2a-2b = 10.$

Подставляем значение $c$ и получаем уравнение относительно $a$ и $b$: $3\frac{ab}{a+b} - 2a - 2b = 10.$

Домножаем обе части на $a+b$ и приводим подобные: $3ab - 2a^2 - 2ab - 2b^2 = 10(a+b),$ $2a^2 + 5ab + 2b^2 = 10(a+b).$

Так как $a$ и $b$ относятся как 4:9, то можно записать $b=4k$ и $a=9k$, где $k$ - некоторое число. Подставляем эти значения в уравнение и получаем: $2\cdot 9^2 k^2 + 5\cdot 9\cdot 4k^2 + 2\cdot 4^2 k^2 = 10\cdot 13k,$ $164k^2 = 130k,$ $k = \frac{5}{41}.$

Теперь находим $a$ и $b$: $a = 9k = \frac{45}{41},$ $b = 4k = \frac{20}{41}.$

Периметр параллелограмма равен $2(a+b) = \frac{130}{41}$ см.