Question

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC точка O- точка пересечения диагоналей. Площади треугольников AOD и BOC относятся как 9:4. Найдите отношение площадей ABD и CBD

Answer 1

Треугольники ABD и CBD имеют общую высоту, тогда их площади относятся как AD/BC, т.е. как длины соответственных оснований. Треугольники AOD и BOC подобны, а коэффициент подобия равен квадратному корню отношения площадей, то есть 3/2. Тогда AD/BC=3/2, что и требовалось.

Answer 2

Обозначим через $h$ высоту трапеции на основание $AD$. Тогда площади треугольников $AOD$ и $BOC$ равны $S_{AOD}=\frac{1}{2}h\cdot AD$ и $S_{BOC}=\frac{1}{2}h\cdot BC$ соответственно.

По условию задачи: $\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}}=\frac{9}{4}$ $\frac{\frac{1}{2}h\cdot AD}{\frac{1}{2}h\cdot BC}=\frac{9}{4}$ $\frac{AD}{BC}=\frac{9}{4}$

Так как $ABCD$ - трапеция, то $\frac{AD}{BC}=\frac{AB-CD}{BC}=\frac{AB}{BC}-\frac{CD}{BC}$. Обозначим $x=\frac{AB}{BC}$, тогда $x-\frac{1}{x}=\frac{9}{4}$. Решая квадратное уравнение, получаем $x=\frac{5}{2}$ или $x=-\frac{4}{1}$. Отрицательное решение не подходит, так как отношение сторон должно быть положительным. Следовательно, $x=\frac{5}{2}$.

Теперь найдем отношение площадей $ABD$ и $CBD$: $\frac{S_{ABD}}{S_{CBD}}=\frac{\frac{1}{2}h\cdot AB}{\frac{1}{2}h\cdot BC\cdot \frac{AB+CD}{2}}=\frac{AB}{BC}\cdot \frac{AB}{AB+CD}=\frac{5}{2}\cdot\frac{5}{7}=\boxed{\frac{25}{14}}.$