Question

Пусть I — центр вписанной окружности четырехугольника ABCD. Известно, что ∠A=47∘, ∠C=99∘. Найдите градусную меру ∠AIB+∠CID.

Answer 1

ДАНО: АВСD - четырёхугольник ; вписанная окружность ( I ; r ) ; угол А = 47° ; угол С = 99°

НАЙТИ: угол АIB + угол CID
________________________

РЕШЕНИЕ:

1) ( см. рис. 2 ) По признаку равенства прямоугольных треугольниках :
∆ АIF = ∆ АIE - по катету и гипотенузе ( ЕI = FI - как радиусы окружности ; AI - общая сторона )

В равных треугольниках соответственно равные элементы ( стороны и углы ) =>
угол ЕАI = угол IAF = 47°/ 2 = 23,5°

2) ( см. рис. 1 ) Аналогично, угол ABI = угол CBI ; угол BCI = угол DCI = 99°/ 2 = 49,5° ,
угол ADI = угол CDI

Пусть угол ABI = а , угол CDI = b, тогда

Сумма углов в любом выпуклом четырёхугольник равна 360°

$2a + 2b + 47 + 99 = 360 \\ 2a + 2b = 360 - 146 \\ 2a + 2b = 214 \\ a + b = 107$

3) Рассм. ∆ АВI:

Сумма всех углов в любом треугольнике всегда равна 180° :

угол АIB = 180° - 23,5 - a

Соответственно, угол CID = 180° - 49,5 - b

Значит, угол AIB + угол CID =
$= 180 - 23,5 - a + 180 - 49,5 - b = 360 - 73 - ( a + b ) = \\ = 360 - 73 - 107 = 360 - 180 = 180$
________________________

P.S. Можно было обойтись без данных углов

1) Пусть угол ВАI = a , угол ABI = b , угол DCI = c , угол CDI = d

Сумма углов в любом выпуклом четырёхугольник равна 360°

2a + 2b + 2c + 2d = 360°

a + b + c + d = 180°

2) Рассм. ∆ АВI:

Сумма всех углов в любом треугольнике всегда равна 180° :

угол АIB = 180° - a - b

Соответственно, угол CID = 180° - c - d

Значит, угол AIB + угол CID = 180° - a - b + 180° - c - d = 360° - ( a + b + c + d ) = 360° - 180° = 180°

ОТВЕТ: угол AIB + угол CID = 180°

Answer 2

Заметим, что сумма всех углов четырехугольника равна $360^\circ$. Поскольку $ABCD$ — вписанный четырехугольник, то сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом,

$$\begin{aligned} \angle B + \angle D &= 180^\circ - \angle A - \angle C \\ &= 180^\circ - 47^\circ - 99^\circ \\ &= 34^\circ. \end{aligned}$$

Так как точка $I$ является центром вписанной окружности, то углы $\angle AIB$ и $\angle CID$ являются смежными дополнениями к углам $\angle A$ и $\angle C$ соответственно. Таким образом,

$$\begin{aligned} \angle AIB + \angle CID &= (180^\circ - \angle A) + (180^\circ - \angle C) \\ &= 314^\circ - (\angle B + \angle D) \\ &= 314^\circ - 34^\circ \\ &= \boxed{280^\circ}. \end{aligned}$$