Question

Даны четыре точки а (1;1) в (2;3) с (0;4) д (-1;2) докажите что четырехугольник ABCD прямоугольник

Answer 1

Найдем стороны четырехугольника. |АВ| = √((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²) = √(1²+2²) = √5. |CD| = √((Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²) = √((-1)²+(-2)²) = √5.  Итак, две противоположные стороны равны, значит четырехугольник - параллелограмм.  Найдем сторону ВС:  |BC| = √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²) = √(-2)²+1²) = √5. Найдем угол <ABC. Если он прямой (скалярное произведение векторов АВ и ВС равно 0), то четырехугольник АВСD- прямоугольник. Скалярное произведение АВ*ВС равно сумме произведений соответственных координат векторов:  

AB{1;2}  и BC{-2;1} равно -2+2 = 0. Итак, четырехугольник ABCD - прямоугольник, что и требовалось доказать. А так как АВ=ВС (определено выше), то это КВАДРАТ.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что его все углы прямые. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами векторов.

Для начала, найдем длины всех сторон четырехугольника:

AB = √[(2-1)^2 + (3-1)^2] = √5 BC = √[(2-0)^2 + (3-4)^2] = √10 CD = √[(0+1)^2 + (4-2)^2] = √10 DA = √[(1+1)^2 + (1-2)^2] = √5

Заметим, что стороны AB и DA равны между собой, а стороны BC и CD также равны между собой. Это означает, что ABCD является парадллелограммом.

Теперь рассмотрим векторы AB и AD:

AB = (2-1, 3-1) = (1, 2) AD = (-1-1, 2-1) = (-2, 1)

Их скалярное произведение равно:

AB·AD = (1)(-2) + (2)(1) = 0

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы AB и AD ортогональны. То есть, стороны AB и AD перпендикулярны друг другу.

Аналогично, можно рассмотреть векторы BC и CD:

BC = (2-0, 3-4) = (2, -1) CD = (0+1, 4-2) = (1, 2)

Их скалярное произведение также равно нулю:

BC·CD = (2)(1) + (-1)(2) = 0

Значит, стороны BC и CD тоже перпендикулярны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что все четыре угла четырехугольника ABCD прямые, и он является прямоугольником.