Question

Дан остроугольный треугольник ABC с углом Доказать, что вершины A и C треугольника, центр описанной окружности O, центр вписанной окружности I и ортоцентр H (то есть точка пересечения высот) лежат на одной окружности, и радиус этой окружности равен радиусу описанной окружности. Картинка желательна.

Answer 1

Решение смотри последовательно в файлах.

Answer 2

Для начала построим данную фигуру:

Для доказательства того, что вершины A, C, O, I и H лежат на одной окружности, сначала заметим, что точка O является серединой гипотенузы AB, а точка I - точкой касания вписанной окружности с стороной AB. Следовательно, точка M, являющаяся серединой отрезка CI, является также серединой стороны AB.

Также, поскольку угол ABC является остроугольным, точка H, лежащая на высоте из вершины B, будет лежать внутри треугольника ABC. Это означает, что угол BHC также будет остроугольным, и следовательно, точка H лежит внутри описанной окружности треугольника ABC.

Из этих наблюдений следует, что точки M, O и H лежат на одной прямой (так как OM - это медиана треугольника ABC, проходящая через точку H, а O является ее серединой).

Теперь рассмотрим треугольник AIC. Угол AIC является прямым, так как он соответствует половине угла BAC, который равен 90 градусам (так как треугольник ABC остроугольный). Кроме того, точка M является серединой стороны AC.

Это означает, что отрезок MI является высотой треугольника AIC, а точка I лежит на описанной окружности этого треугольника. Также, поскольку точка M лежит на медиане треугольника ABC, проходящей через точку O, она также лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Таким образом, мы показали, что точки A, C, O, I и H лежат на одной окружности с радиусом, равным радиусу описанной окружности треугольника ABC. Это заканчивает доказательство.