Question

В трапеции CDEF (CF||DE) через вершину E проведена прямая EM, параллельная стороне CD и пересекающая сторону CF в точке M. Периметр треугольника, стороны которого- средние линии треугольника EMF, равен 12 см. Найдите периметр трапеции, если DE=6 см.

Answer 1

Треугольник, который получился внутри трапеции равносторонний, т.к средние линии его равны, значит по св-ву сред линий в треугольнике стороны треуголдьникаMEF равны 8см, т.е EM=MF=EF и =CD(т.к получился параллелограмм), выходит, что наша трапеция равнобедренная, верхнее основание =6, нгижнее =6=8=14 и +8+8= 16+20=36

Answer 2

Пусть точка N - середина стороны EF треугольника EMF. Так как N - середина стороны, то EN=NF=NM.

Поскольку EM || CD, то по теореме Талеса имеем:

EF/FC = EM/CD.

Так как CF || DE, то из подобия треугольников CFE и DFE следует, что EF/DE = FC/CD.

Следовательно, EF/FC = EF/DE, откуда EF² = FC·DE.

С другой стороны, известно, что периметр треугольника EMF равен 12 см, то есть EM + EF + FM = 12.

Заменяем EF на √(FC·DE), а также замечаем, что EN=NF=NM и FM=2EN:

EM + √(FC·DE) + 2EN = 12.

Теперь выразим EM через FC и периметр трапеции CDEF:

EM = (perimeter CDEF - CD - EF)/2 = (perimeter CDEF - FC - √(FC·DE))/2.

Подставляем это выражение в предыдущее равенство:

(perimeter CDEF - FC - √(FC·DE))/2 + √(FC·DE) + 2EN = 12.

Simplifying and rearranging terms:

perimeter CDEF = 2(FC + DE + 3EN) = 2(FC + 6)/3 + 4√(FC·DE).

Используем теперь условие, что CF || DE, чтобы выразить FC через DE:

FC/CD = EF/DE, то есть FC = DE·CF/CD = 2DE.

Подставляем это выражение:

perimeter CDEF = 2(2DE + 6)/3 + 4√(2DE²) = 4DE/3 + 8/3 + 4DE = 16DE/3 + 8/3 = 8(DE + 1/3) см.

Ответ: периметр трапеции CDEF равен 8(DE + 1/3) см, где DE=6 см. Поэтому, периметр равен 56/3 см, или около 18.67 см (округлено до сотых).