Question

высота равнобокой трапеции ровна 8 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите периметр трапеции , если боковая сторона ровна 10 см

Answer 1

АВ = CD так трапеция равнобедренная,

∠ВАС = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции,

AD - общая сторона для треугольников ВАС и CDA, ⇒

ΔВАС = ΔCDA по двум сторонам и углу между ними,

значит ∠CAD = ∠BDA.

Тогда ΔAOD равнобедренный прямоугольный.

ΔВОС подобен ему по двум углам, значит тоже равнобедренный.

Проведем высоту трапеции КН через точку пересечения диагоналей.

Для равнобедренных треугольников AOD и ВОС отрезки ОН и ОК - высоты и медианы, а в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине:

КО = ВС/2

НО = AD/2, ⇒

KH = (AD + BC)/2 = 8 см,

тогда AD + BC = 16 см

Pabcd = 2AB + AD + BC = 24 + 16 = 40 см

Наверное так!)

Answer 2

Пусть $ABCD$ - равнобокая трапеция, где $AB$ и $CD$ - основания, а $AD$ и $BC$ - боковые стороны. Пусть $AC$ и $BD$ - диагонали, перпендикулярные друг другу. Так как трапеция равнобокая, то $AD = BC$, и $AC = BD$. Пусть $M$ - точка пересечения диагоналей, тогда $AM = MC$ и $BM = MD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$:

Используем теорему Пифагора:

$AM^2 + BM^2 = AB^2$

Так как $AM = MC$, $BM = MD$ и $AB = CD$, то

$(2AM)^2 + (AB - 2BM)^2 = AB^2$

$4AM^2 + AB^2 - 4AB \cdot BM + 4BM^2 = AB^2$

$4AM^2 + 4BM^2 = 4AB \cdot BM$

$AM^2 + BM^2 = \frac{AB \cdot BM}{2}$

Используем формулу для высоты равнобедренной трапеции:

$$$$