Question

Около правильного многоугольника описана окружность, радиус R. Стороны многоугольника удалены от центра на R:2. Найти число сторон?

Answer 1

радиус описанной окружности=R, расстояние от центра до стороны есть радиус вписанной окружности и он в 2 раза меньше радиуса описаннной окружности. Это выполняется только для правильного треугольника. Ответ 3

Answer 2

Пусть n - число сторон правильного многоугольника.

Так как стороны многоугольника удалены от центра на R:2, то расстояние от центра многоугольника до одной из вершин равно R - R:2 = R/2.

Также из геометрических соображений известно, что расстояние от центра правильного многоугольника до середины одной из его сторон равно R*cos(180/n).

Таким образом, у нас есть два равных расстояния: R/2 и R*cos(180/n). Можем составить уравнение:

R/2 = R*cos(180/n)

Разделим обе части на R и умножим на 2:

2*cos(180/n) = 1

cos(180/n) = 1/2

Из тригонометрии известно, что это верно только для углов 60° и 300°. Таким образом, имеем:

180/n = 60°

или

180/n = 300°

Первое уравнение даёт n = 6, а второе уравнение не имеет целочисленного решения.

Таким образом, правильный многоугольник, описанный около данной окружности, имеет 6 сторон.