Question

Даю 50 баллов. За полное решение, с рисунком и подробным решением Через точку А, удаленную от плоскости альфа на 4см, проходит прямая, пересекающая плоскость альфа в точке В. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью альфа, если длина отрезка АВ равна 6см.

Answer 1

AH_|_α,AB=6см,AH=4см
ΔABH прямоугольный
sin<B=AH/AB=4/6≈0.667
<B≈41 гр 48мин

Answer 2

Для начала нарисуем схему:

cssCopy code
         A
         |
         |
         |
         |
    ------*------   α
         |
         |
         |
         B

Здесь плоскость α обозначена горизонтальной линией, точка A находится над нею на расстоянии 4 см, а точка B — на пересечении прямой АВ с плоскостью α.

Обозначим через С центр отрезка AB:

cssCopy code
         A
         |
         |
         |
         |
    ------C------   α
         |
         |
         |
         B

Тогда СB — это высота треугольника ABC на сторону АВ.

Заметим, что прямая АВ является катетом прямоугольного треугольника AСB, а гипотенуза этого треугольника равна 6 см.

Таким образом, по теореме Пифагора, AC = sqrt(6^2 - CB^2) = sqrt(36 - CB^2) см.

Далее, обратимся к определению синуса угла между прямой и плоскостью: sin(угол между АВ и α) = (CB / AC).

Теперь нам осталось найти CB. Рассмотрим треугольник ABC и воспользуемся теоремой Пифагора еще раз:

AB^2 = AC^2 + CB^2.

Подставляем значение AC из предыдущего шага и получаем:

(6 см)^2 = (sqrt(36 - CB^2))^2 + CB^2.

Раскрываем скобки и получаем:

36 = 36 - CB^2 + CB^2.

Значит, CB = 3 см.

Теперь мы можем вычислить синус угла между АВ и α:

sin(угол между АВ и α) = (CB / AC) = 3 / sqrt(36 - CB^2) = 3 / sqrt(27) = sqrt(3) / 3.

Ответ: угол между прямой АВ и плоскостью α равен arcsin(sqrt(3) / 3) ≈ 35.26 градусов.