Question

Треугольник АВС - равнобедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точк D. угол ADB = 100 градусов. Найдите угол С.

Answer 1

В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его биссектрисы. Треугольники AKB и ALB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника, а углы LBA и KAB равны как половины углов при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны AK и LB - биссектрисы треугольника ABC - равны. Теорема доказана.
Теорема d3. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его высоты. Тогда углы ABL и KAB равны, так как углы ALB и AKB прямые, а углы LAB и ABK равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольники ALB и AKB равны по второму признаку равенства треугольников: у них общая сторона AB, углы KAB и LBA равны по вышесказанному, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Если треугольники равны, их стороны AK и BL тоже равны. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Так как треугольник АВС - равнобедренный, то угол АВС равен углу АСВ. Пусть этот угол равен х градусов. Тогда угол ВАС равен 180 - 2х градусов.

Так как точка D является точкой пересечения биссектрис углов при основании, то угол ADB равен половине угла ВАС, то есть 90 - х градусов.

Таким образом, получаем, что угол АДС равен углу АДВ + углу ВДС. Угол АДВ равен 180 - углу ВАС / 2, то есть 180 - (180 - 2х) / 2 = х градусов.

Угол ВДС равен 180 - углу ADB, то есть 80 градусов.

Таким образом, угол АДС равен х + 80 градусов.

Но угол АДС также является внутренним углом треугольника АСД. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому получаем уравнение:

х + 80 + угол С = 180

Отсюда находим, что угол С равен 100 градусов.