Question

Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною √(√(15)-√(3)). Одна з бічних граней є рівностороннім трикутником і перпендикулярна до площини основи. Визначити бічну поверхню піраміди.

Answer 1

Дано : 
DABC пирамида ;
ΔABC и  ΔDAB  равносторонние ; 
AC= BC  =AB = DA = DB =√( √15 -√3 ) ;
(DAB) ⊥  (ABC) .
-------------------------
S(бок) - ?

 S(бок) = S(ΔDAB) +S(ΔDAC)+S(ΔDBC).
(DAB) ⊥ (ABC) ⇒CH ⊥AB  , DH ⊥ AB   и  ∠CHD =90°.
 ΔABC =ΔAB D 
AH = BH =a/2 ; CH =DH =√(a²  -(a/2)² ) =√(a²  -a²/4 )  =(a√3) /2 .
По теореме Пифагора  из ΔCHD :
CD =√(CH² +DH²) =√(2CH²)= CH√2 =(a√3) /2 *√2 =(a√6) /2 .
 ΔDAC= ΔDBC_равнобедренные .  
Вычислим площадь треугольника DAC. Проведем  высоту AM :   AM ⊥ DC 
Эта высота одновременно и медиана  DM =CM =CD/2 = ( a√6) /4.
Из ΔCAM  :
AM =√(AC² - CM²) = √(a² - 6a² /16) =(a √10) /4.
S(ΔDAC) =CD*AM /2 = CM*AM  =  (a√6) /4 *(a√10) /4 =a²√(60)/16 =(a ²√15)/8.

 S(бок) = S(ΔDAB) +S(ΔDAC)+S(ΔDBC) = AB*DH /2 +2S(ΔDAC ) =
(a²√3)/4 +(a²√15)/4 =a² (√5+1)*(√3)/ 4 =(√(√15 -√3) )² *  (√5+1)*(√3)/  4=
(√15 -√3) * (√5+1)*(√3)/ 4 = √3(√5-1)(√5+1)*√3 /  4 =3*(5-1)/4 = 3.

ответ :  3  ед.площади .
  .

Answer 2

Почнемо зі знаходження висоти бічної грані піраміди. Оскільки бічна грань є рівностороннім трикутником, то її висота дорівнює

h = (сторона грані) × (√3/2)

Оскільки сторона грані дорівнює стороні основи, то з формули для сторони рівностороннього трикутника маємо:

сторона грані = √(√(15)-√(3))

Тоді висота бічної грані:

h = (√(√(15)-√(3))) × (√3/2) = (√(5√3-3)) / 2

Тепер знайдемо площу бічної поверхні піраміди за формулою:

Sб = (периметр бічної грані) × (висота бічної грані) / 2

Оскільки бічна грань є рівностороннім трикутником, то її периметр дорівнює трьом сторонам:

периметр бічної грані = 3 × сторона грані

Підставляємо значення сторони грані та висоти бічної грані:

Sб = 3 × √(√(15)-√(3)) × (√(5√3-3)) / 2 ≈ 2.95

Отже, бічна поверхня піраміди дорівнює близько 2.95 квадратних одиниць.