Question

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=√15/4Интересует рисунок и решение

Answer 1

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для начала построим рисунок, чтобы проиллюстрировать данную задачу:

cssCopy code
       B
      / \
     /   \
  30/     \8
   /       \
M /_________\ N
   \        /
  x \      / y
     \    /
      \  /
       \/
        A

Здесь мы изобразили треугольник ABC, в котором M и N лежат на стороне AC. Расстояния от точек M и N до вершины A равны 8 и 30 соответственно. Также известно, что cos∠BAC = √15/4. Далее нам нужно найти радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB.

Решение:

Из условия задачи следует, что треугольник ABC прямоугольный, так как cos∠BAC = √15/4 > 1/2. Значит, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длины сторон треугольника:

AB² = AC² - BC²

Заметим, что AC = AM + MC = 8 + x и BC = CN + NB = y + 30. Также из рисунка мы видим, что треугольник ABM подобен треугольнику ABC, поэтому

AB/AC = BM/BC

AB/(8 + x) = x/(y + 30)

AB = 8x/(y + 30) + x

Теперь мы можем подставить найденные выражения для AB, AC и BC в уравнение теоремы Пифагора:

(8x/(y + 30) + x)² = (8 + x)² - (y + 30)²

Раскроем скобки и упростим выражение:

64x²/(y + 30)² + 16x²/(y + 30) + x² = x² + 16x + 64 - y² - 60y - 900

64x²/(y + 30)² + 16x²/(y + 30) = 16x + 964 - y² - 60y

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x/y и получить:

x/y = 15/8

Зная отношение x/y, мы можем найти значения x и y:

x = 15/23 * AC = 15/23 * (8 + x + 30 + y) = 15/23 * (38 + y)

y = 8/23 * AC = 8/23 * (8 + x + 30 + y) = 8/23 * (38 + y)

Теперь мы можем найти радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB. Радиус этой окружности равен

r = MN/2 = (y - x)/