Question

В прямоугольном треугольнике с острым углом 30 градусов больший катет равен 18 см. На какие отрезки делит этот катет биссектриса большего острого угла треугольника? Рисунок и решение! БЕЗ СИНУСОВ, КОСИНУСОВ И КОРНЕЙ. 7 класс, тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника.

Answer 1

Решение задачи во вложенном файле.

Answer 2

Назовем больший катет треугольника AB, а точку пересечения биссектрисы с AB - точкой M. Тогда AM и MB - отрезки, на которые биссектриса AB делит катет AB.

Чтобы найти длины отрезков AM и MB, воспользуемся теоремой биссектрисы: она гласит, что биссектриса угла делит противолежащую сторону в отношении длин смежных сторон. В нашем случае биссектриса угла A делит сторону AB на две части - AM и MB - в отношении длин сторон AC и BC соответственно.

Отрезок AC является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC, а угол ACB равен 60 градусов (так как в треугольнике ABC угол A равен 30 градусов и угол C равен 90 градусов, следовательно, угол B равен 60 градусов). Таким образом, мы знаем соотношение между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника со сторонами 1, 2 и √3 (это следует из тригонометрических функций с углом 60 градусов). В нашем случае катет равен 18 см, так что гипотенуза AC равна 36 см, а величина отрезка AM вычисляется по формуле:

AM = (AC * AB) / (AC + BC) = (36 * 18) / (36 + BC).

Аналогично, отрезок MB вычисляется по формуле:

MB = (BC * AB) / (AC + BC) = (18 * BC) / (36 + BC).

Так как AM + MB = AB, то мы можем записать уравнение:

(36 * 18) / (36 + BC) + (18 * BC) / (36 + BC) = 18,

которое можно упростить до:

36 * 18 + 18 * BC = 18 * (36 + BC),

или:

BC = 36.

Таким образом, отрезки AM и MB делят катет AB на две равные части, каждая из которых равна 18 см / 2 = 9 см. Ответ: AM = MB = 9 см.

Ниже приведен рисунок, иллюстрирующий решение:

cssCopy code
      C
      /\
     /  \
    /   18\
   /       \
  /         \
 /60°        \
A------------B
       30°