Question

Две стороны треугольника равны 14 и 22. Медиана, проведенная к третьей стороне равна 12 см. Найдите третью сторону.(без формулы медианы,косинусов)

Answer 1

Пусть имеем искомый треугольник ABC, в котором AB=14, BC=22. Из вершины B проведем медиану BM, BM=12. Необходимо найти величину стороны AC.

Обозначим АС=2x, тогда AM=CM=x, т.к. M - середина AC ( BM - медиана). По свойству медианы, она делит треугольник на два равновеликих треугольника (треугольники, у которых равны площади). Поскольку BM - медиана в треугольнике ABC, то S(ABM)=S(CBM) по вышеописанному свойству.

1). По формуле площади треугольника Герона имеем:

S(ABM)=√p*(p-AB)*(p-BM)*(p-AM), где p - полупериметр треугольника ABM;

p=(AB+BM+AM)/2=(14+12+x)/2=7+6+0,5*x=13+0,5*x;

Тогда, S(ABM)=√(13+0,5*x)*(13+0,5*x-14)*(13+0,5*x-12)*(13+0,5*x-x)=√(13+0,5*x)*(0,5*x-1)*(0,5*x+1)*(13-0,5*x);

Используя формулу разности квадратов, можем привести к следующему виду:

S(ABM)=√(169-0,25*x²)*(0,25*x²-1);

2). Аналогично, S(CBM)=√p*(p-MB)*(p-MC)*(p-BC), где p - полупериметр треугольника CBM;

p=(MB+MC+BC)/2=(12+x+22)/2=6+11+0,5*x=17+0,5*x;

Тогда, S(CBM)=√(17+0,5*x)*(17+0,5*x-12)*(17+0,5*x-x)*(17+0,5*x-22)=√(17+0,5*x)*(0,5*x+5)*(17-0,5*x)*(0,5*x-5);

Используя формулу разности квадратов, можем привести к следующему виду:

S(CBM)=√(289-0,25*x²)*(0,25*x²-25);

3). Т.к. по вышедоказанному S(ABM)=S(CBM), то подставив полученные вычисления, получаем:

√(169-0,25*x²)*(0,25*x²-1)=√(289-0,25*x²)*(0,25*x²-25);

Возведем обе части в квадрат:

(169-0,25*x²)*(0,25*x²-1)=(289-0,25*x²)*(0,25*x²-25);

42,25*x²-0,0625*x²-169+0,25*x²=72,25*x²-0,0625*x²-7225+6,25x²;

42,5*x²-169=78,5x²-7225;

36*x²=7056;

x²=196;

x=±14, но так как x - это величина стороны, то (-14) - посторонний корень;

4). АС=2x=2*14=28, что и требовалось найти;

Ответ: AC=28.

Answer 2

Мы можем решить эту задачу, используя теорему Пифагора и свойства медианы в треугольнике.

Пусть третья сторона имеет длину x, и медиана, проведенная к этой стороне, делит ее на две части, равные m и n. Тогда мы можем записать два уравнения:

x^2 = m^2 + 12^2 (1) x^2 = n^2 + 12^2 (2)

Также мы знаем, что медиана делит третью сторону на две равные части, то есть m = n. Мы можем использовать это условие, чтобы избавиться от переменной n:

m = n m^2 = n^2

Теперь мы можем подставить m^2 вместо n^2 в уравнении (2):

x^2 = m^2 + 12^2 x^2 = n^2 + 12^2 = m^2 + 12^2 m^2 = (x^2 - 12^2) / 2

Мы можем заменить n и m на выражение (x^2 - 12^2) / 2 в уравнении (1):

x^2 = m^2 + 12^2 x^2 = ((x^2 - 12^2) / 2) + 12^2

Разрешая это уравнение для x, мы получим:

x = sqrt(2 * 12^2 + 2 * sqrt(14^2 * 22^2 - (14^2 + 22^2 - x^2)^2))

Используя эту формулу, мы можем вычислить третью сторону треугольника:

x = sqrt(2 * 12^2 + 2 * sqrt(14^2 * 22^2 - (14^2 + 22^2 - x^2)^2)) x = sqrt(2 * 12^2 + 2 * sqrt(14^2 * 22^2 - (14^2 + 22^2 - x^2)^2)) x ≈ 20.85

Таким образом, третья сторона треугольника равна примерно 20.85 см.