Question

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 4 см и делит ее на отрезки, разность которых равна 6 см. Найдите стороны треугольника.

Answer 1

 Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 4 см и делит ее на отрезки, разность которых равна 6 см. Найдите стороны треугольника.

-------

Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Пусть проекция меньшего катета х, проекция большего катета (х+6).

Тогда квадрат высоты равен х*(х+6)⇒

16=х²+6х

х²+6х-16=0

D=100

Решив квадратное уравнение, получим х= 2 и -8 Отрицательный корень не подходит. 

Отсюда гипотенуза равна 2+2+6=10 см

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. 

Пусть меньший катет равен а. 

а²=10*2=20

а=√20

 Меньший катет=2√5 см

Пусть больший катет равен  b

b²=10*8=80

b=√80

Больший катет равен 4√5 см

Answer 2

Обозначим катеты треугольника через $a$ и $b$, а гипотенузу через $c$. Тогда по теореме Пифагора имеем: $a^2+b^2=c^2$ Высота проведена к гипотенузе, значит, она является ее медианой, и делит гипотенузу на две равные части. Обозначим эти части через $x$ и $c-x$ соответственно, тогда: $c-x - x = 6 \quad \Rightarrow \quad c = 2x+6$ Также из подобия треугольников можно записать: $\frac{a}{x}=\frac{b}{c-x}$ Отсюда получаем систему уравнений:

a^2+b^2=c^2 \\ c=2x+6 \\ \frac{a}{x}=\frac{b}{c-x} \end{cases}$$ Решая эту систему, находим: $$a = \frac{8\sqrt{2}}{3}, \quad b=\frac{22\sqrt{2}}{3}, \quad c=10\sqrt{2}$$ Ответ: стороны треугольника равны $\frac{8\sqrt{2}}{3}$, $\frac{22\sqrt{2}}{3}$ и $10\sqrt{2}$ см.