Question

В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС внешний угол при вершине А равен 120 град, АВ=5см. Найдите длину гипотенузы

Answer 1

Внутренний угол А=180-120=60°
∠С=90-60=30°
АВ=1\2 АС
АС=2 АВ=5*2=10.

Answer 2

Мы можем воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти длину гипотенузы треугольника.

Согласно теореме косинусов, для любого треугольника со сторонами a, b и c и углом между сторонами a и b (обозначим его как угол C) мы можем выразить квадрат третьей стороны c^2 следующим образом:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)

Применим эту формулу для нашего треугольника АВС, где АС - гипотенуза, АВ - одна из катетов, а угол А равен 120 градусам:

АС^2 = АВ^2 + ВС^2 - 2 * АВ * ВС * cos(А)

Мы знаем длину одного катета АВ (5 см), а также что угол А равен 120 градусам. Осталось найти длину другого катета ВС. Для этого заметим, что угол В равен 90 градусам (так как АВС - прямоугольный треугольник). Значит, угол С равен 180 - 120 - 90 = 30 градусам.

Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины ВС. Так как угол С равен 30 градусам, то:

sin(30) = ВС / АС

Отсюда можно выразить длину ВС:

ВС = АС * sin(30)

Подставляем это значение в формулу для теоремы косинусов:

АС^2 = АВ^2 + ВС^2 - 2 * АВ * ВС * cos(А)

АС^2 = 5^2 + (АС * sin(30))^2 - 2 * 5 * АС * sin(30) * cos(120)

АС^2 = 25 + (АС^2 / 4) - 5 * АС * sin(30) * (-1/2)

АС^2 = 25 + (АС^2 / 4) + 5 * АС * sin(30) / 2

Упрощаем выражение:

3/4 * АС^2 = 25 + 5/4 * АС

Переносим все члены на одну сторону:

3/4 * АС^2 - 5/4 * АС - 25 = 0

Решаем полученное квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = (-5/4)^2 - 4 * 3/4 * (-25)

D = 625/16

Теперь можем н