Question

В окружности проведены хорды АВ и АС, причем АВ=2, ВС=1, угол САВ равен 120°. Найти длину той хорды, которая делит угол САВ пополам.

Answer 1

АВЕС - вписанный четырёхугольник ⇒ ∠ВЕС = 180° - 120° = 60°

∠САЕ = ∠ВАЕ = 60° ⇒ СЕ = ВЕ - как хорды, опирающиеся на равные дуги ⇒ ΔВЕС - правильный, ВС = СЕ = ВЕ

По теореме косинусов для ΔАВС и ΔАВЕ:  ВС² = ВЕ²

АВ² + АС² - 2•АВ•АС•сos120° = AB² + AE² - 2•AB•AE•cos60°

1 - 2•2•(-1/2) = AE² - 2•2•AE•(1/2) ⇒ AE² - 2AE - 3 = 0 ⇒ AE = 3 - по теореме, обратной т.Виета, второй корень не подходит.

Ответ: 3

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства хорд и центральных углов в окружности.

Пусть хорда, которая делит угол САВ пополам, называется CD. Для того чтобы найти ее длину, нам необходимо сначала определить ее положение в окружности.

Заметим, что так как угол САВ равен 120°, то угол CAB равен 60° (так как это угол, соответствующий полууглу в центре, образованный хордами АВ и АС). Также заметим, что треугольник АВС является равнобедренным, так как АВ=ВС.

Используя эти свойства, мы можем построить следующую диаграмму:

cssCopy code
        C
       / \
      /   \
     /     \
    /   CD  \
   /         \
  A-----------B

Треугольник АВС имеет углы при вершине А и при вершине В, равные 60°, поэтому он является равносторонним. Это означает, что AC=BC=2 (так как АВ=2).

Теперь мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике АCD, чтобы найти длину хорды CD:

scssCopy code
cos(60°) = (AC² + CD² - AD²) / (2 * AC * CD)
1/2 = (2² + CD² - AD²) / (2 * 2 * CD)
CD² - AD² + 4 = 4CD
CD² - AD² - 4CD + 4 = 0

Мы знаем, что AD=1/2 (половина длины хорды ВС). Подставляя эту информацию в уравнение выше, мы получаем:

Copy code
CD² - 1/4 - 2CD + 4 = 0
CD² - 2CD + 15/4 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

makefileCopy code
D = (-2)² - 4 * 1 * 15/4 = -5

Так как дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет решений в вещественных числах. Однако мы можем заметить, что если мы заменим CD на -CD в уравнении, мы получим:

scssCopy code
(-CD)² + 2CD + 15/4 = 0

Это уравнение имеет корни:

arduinoCopy code
(-2 ± sqrt(5)) / 2

Таким образом, решение нашей исходной задачи заключается в том,