Question

Помогте буду рад :). Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит его боковую сторону на отрезки 3 см и 4 см, начиная от основания. Найдите периметр треугольника.

Answer 1

АН = АК = 3  как отрезки касательных, проведенных из одной точки
Так же СН = СТ = 3 и ВК = ВТ = 4.
Pabc = 3 · 4 + 4 · 2 = 12 + 8 = 20 cм

Answer 2

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $b$ см, а высота опущенная на это основание равна $h$ см. Так как окружность вписана в треугольник, то ее центр совпадает с центром вписанной окружности, а расстояние от центра окружности до боковой стороны треугольника равно радиусу окружности $r$ см.

Пусть точка касания окружности с боковой стороной на расстоянии 3 см от основания треугольника имеет координаты $(3,0)$, а точка касания на расстоянии 4 см имеет координаты $(4,0)$. Тогда центр вписанной окружности имеет координаты $({b}/{2},r)$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной основания, высотой и радиусом вписанной окружности, имеем:

$$\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2 = r^2.$$

Также, по свойствам вписанной окружности, получаем равенства:

$$r = \frac{b}{2} - 3, \\ r = \frac{b}{2} - 4.$$

Из этих уравнений можно выразить $b$ и $h$:

$$b = 20, \quad h = 12.$$

Таким образом, периметр треугольника равен:

$$P = 2b + 2h = 64 \text{ см}.$$