Question

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. На стороне AB взята точка K так,что OK перпендикулярен AB, AK=2cm, BK=8cm. Найдите диагонали ромба.

Answer 1

Ромб ABCD, точка пересечения диагоналей О, К - точка на стороне АВ.
АК=2
ВК=8
1- рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. У него АВ=10см (т.к. АК+ВК=2+8=10). А катеты АО и ВО примем АО=х, ВО= у
2- из теоремы пифагора (квадрат гипотенузы (АВ^2) равен сумме квадратов катетов (АО^2+ВО^2)) ( X)^2 означает X в квадрате
т.е. АВ^2=AO^2+BO^2. подставим нашу замену получим 10^2=x^2+y^2, 100=x^2+y^2
3- рассмотрим прямоугольный треугольник AOK. Его стороны это АК=2, ОК и АО=x
в нем тоже по теореме пифагора получаем: AO^2=AK^2+OK^2, подставим значения получим x^2 = 2^2 + OK^2 x^2 = 4 + OK^2
4- рассмотрим прямоугольный треугольник BOK. Его стороны это BК=8, ОК и BО=y
в нем тоже по теореме пифагора получаем: BO^2=BK^2+OK^2, подставим значения получим y^2 = 8^2 + OK^2 y^2 =64 + OK^2

Рассмотрим уравнения из пункта 3 и 4
x^2 = 4 + OK^2
y^2 =64 + OK^2
Выразим из каждого OK^2, получим
OK^2=x^2-4
OK^2=y^2-64
получаем
x^2-4=y^2-64
x^2=y^2-60
Решим теперь систему уравнений
x^2=y^2-60
100=x^2+y^2 (уравнение из пункта 2)
Подставим полученное x^2 в уравнение из пункта 1, получим систему
x^2=y^2-60
100=y^2-60+y^2

x^2=y^2-60
2*y^2=160

x^2=y^2-60
y^2=80
Теперь подставим y^2=80 в первое уравнение системы, получим систему

x^2=80-60
y^2=80

x^2=20
y^2=80
__
x=2 V 5 (два корня из пяти)
__
y=4 V 5 (четыре корня из пяти)

Ответ: __ __ __ __
Диагонали ромба это АС=2*x = 2*2 V 5 = 4V 5 и BD=2*y= 2*4 V 5 = 8 V 5

Answer 2

Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOK и треугольник BOK являются прямоугольными.

Обозначим длину диагоналей ромба через D1 и D2. Также обозначим длину отрезка OA через x. Тогда длина отрезка OB равна D1 - x (так как точка О является серединой диагонали BD).

Рассмотрим треугольник AOK. Из условия задачи известны AK = 2 см и OK = x. Используя теорему Пифагора, получаем:

$AO^2 = AK^2 + OK^2 = 2^2 + x^2$

Рассмотрим треугольник BOK. Из этого треугольника мы можем выразить длину BO через D1, D2 и x, используя теорему Пифагора:

$BO^2 = D1^2 - x^2$

$BO^2 = D2^2 - (D1 - x)^2$

Так как точка О является серединой диагонали AC, то длина AO равна половине длины диагонали AC, то есть AO = D2/2.

Теперь мы можем выразить BO через D1 и D2:

$D2^2/4 - AO^2 = D1^2 - x^2$

$D2^2/4 - (2^2 + x^2) = D1^2 - x^2$

$D2^2/4 - 4 = D1^2 - x^2$

$D2^2/4 - D1^2 = -16$

$D2^2 - 4D1^2 = -64$

$D2^2 = 4D1^2 - 64$

Теперь мы можем использовать известную информацию об отрезке BK, чтобы выразить D1 через D2:

$BK^2 = BO^2 + OK^2 = D1^2 - x^2 + x^2$

$BK^2 = D1^2$

$D1 = 8$ см

Теперь мы можем найти D2, используя ранее полученное уравнение:

$D2^2 = 4D1^2 - 64 = 4 \cdot 8^2 - 64 = 192$

$D2 = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$ см

Таким образом, длина диагоналей ромба равна 8 см и 8√3 см.