Question

Через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60 градусов. Площадь образовавшегося сечения равна 8√3 см2 . Найдите объем призмы.

Answer 1

Обозначим сторону основания а, высоту призмы Н, высоту сечения h.

Проекция высоты сечения h на основание - это высота основания СD.

CD = a√3/2. Тогда высота призмы как катет, лежащий против угла 60 градусов, равна (a√3/2)*tg 60° = (a√3/2)*√3 = 3a/2.

Теперь определим высоту сечения h.

h = CD/cos 60° = (a√3/2)/(1/2) = a√3.

Площадь сечения как треугольника равна:

S(AC1B) = (1/2)a*h = (1/2)a*(a√3) = a²√3/2.

Приравняем заданному значению: a²√3/2 = 8√3, a² = 16, a = 4.

Можно получить ответ:

V = SoH = (a²√3/4)*(3a/2) = 3a³√3/8 = 3*64*√3/8 = 24√3 см³.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для объема призмы. Объем правильной треугольной призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту призмы.

Дано, что площадь образовавшегося сечения равна 8√3 см², и угол между этим сечением и плоскостью основания составляет 60 градусов.

Площадь сечения треугольной призмы можно выразить через площадь треугольника, образующего основание призмы. Поскольку основание является правильным треугольником, площадь его можно выразить следующим образом:

Площадь основания = (сторона основания)^2 * √3 / 4

Пусть сторона основания равна a. Тогда площадь основания будет равна:

Площадь основания = a^2 * √3 / 4

Так как сечение делится пополам плоскостью основания, площадь сечения будет составлять половину площади основания:

Площадь сечения = (a^2 * √3 / 4) / 2 = a^2 * √3 / 8

Теперь, когда у нас есть площадь сечения, мы можем найти сторону основания a:

a^2 * √3 / 8 = 8√3

Упростим уравнение:

a^2 = 8 * 8

a^2 = 64

a = √64

a = 8

Таким образом, сторона основания призмы равна 8 см.

Высоту призмы можно найти, зная угол между сечением и плоскостью основания. Угол составляет 60 градусов, и так как треугольная призма является правильной, высота призмы будет равна стороне основания, умноженной на √3:

Высота = 8 * √3

Теперь, когда у нас есть сторона основания и высота, мы можем найти объем призмы:

Объем = Площадь основания * Высота = (8^2 * √3 / 4) * (8 * √3) = (64 * √3 / 4) * (8 * √3) = 16 * 8 * (√3 * √3) = 16 * 8 * 3 = 384 см³

Таким образом, объем призмы рав