Question

Какое наибольшее число прямых можно провести на плоскости таким образом, чтобы среди любых ста из них нашлись две перпендикулярные? помогите пж. это олимпиада, идёт время

Answer 1

девяносто девять параллельных.....

Answer 2

Рассмотрим две перпендикулярные прямые $l_1$ и $l_2$. Любая другая прямая, не параллельная $l_1$ и $l_2$, пересекает каждую из них в разных точках и, следовательно, пересекает $l_1$ и $l_2$ между собой. Таким образом, любая третья прямая должна пересекать как минимум одну из уже нарисованных прямых, образуя угол отличный от $90^\circ$.

Значит, мы можем провести не более чем две прямые, которые не пересекают перпендикулярные прямые $l_1$ и $l_2$, причем они будут параллельны между собой.

Таким образом, общее количество прямых, которые мы можем провести, не превосходит $2+100 = 102$.

Теперь покажем, что можно нарисовать 102 прямых с требуемым свойством.

Разобьем плоскость на сетку квадратов со стороной $1$ таким образом, чтобы вершины квадратов имели целочисленные координаты. Тогда на каждую горизонтальную прямую мы можем нарисовать 50 вертикальных прямых, соединяющих вершины соседних квадратов в одном ряду. Кроме того, мы можем нарисовать еще одну горизонтальную прямую, проходящую через середину каждого квадрата в первом ряду. Эти 51 прямая не содержат перпендикулярных пар.

Аналогично мы можем нарисовать еще 51 прямую на каждую вертикальную прямую. После этого мы получим 102 прямые, и любые две из них будут перпендикулярными, так как они будут пересекаться в точке с целочисленными координатами.

Таким образом, на плоскости можно провести не более 102 прямых с требуемым свойством.