Question

В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются вточке O. Найдите ∠AOK .

Answer 1

Треугольник равносторонний следовательно AM и BK и бессиктрисы и высоты. Тогда угол МАК=60/2=30 градусов. Угол ВКА=90 градусов. Тогда угол АОК=180-30-90=60 градусов.

Ответ: 60 градусов.

Answer 2

Для начала заметим, что в равностороннем треугольнике медианы также являются биссектрисами и высотами. Поэтому точка O, в которой пересекаются медианы BK и AM, является точкой пересечения биссектрис и высот, и лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Так как треугольник ABC равносторонний, то его описанная окружность также является вписанной, и центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности. Обозначим этот центр через O.

Тогда, так как точка O лежит на медианах BK и AM, она является точкой пересечения высот и биссектрис треугольника ABC, а значит, центром описанной окружности. Также легко видеть, что точка O также является центром вписанной окружности.

Следовательно, ∠AOK равен половине угла между сторонами AB и AC, то есть 30 градусов. Ответ: ∠AOK = 30°.