Question

Даны вершины треугольника A(2;-2), B(3;-5), C(5;7). Составить уравнение высоты BD. И вычислить длину.

Answer 1

Даны вершины треугольника A(2;-2), B(3;-5), C(5;7).

Уравнение стороны АС: х - 2    =     у + 2

                                              3                9

Приводим к общему знаменателю. 9х - 18 = 3у + 6.

В общем виде 9х - 3у - 24 = 0  или 3х -у -8 = 0.

С угловым коэффициентом у = 3х - 8.

В уравнении ВД угловой коэффициент к = -1/(кАС) = -1/(3) = -1/3.

Уравнение ВД: у = (-1/3)х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки В: -5 = (-1/3)*3 + в. Отсюда в =  -5 + 1 = -4.

ВД: у = (-1/3)х -4.

Длину высоты можно определить двумя способами: (1) через площадь или (2) найти координаты точки Д.

(1) АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √10 ≈ 3,1623.

BC (а) = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √148 ≈  12,1655.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √90 ≈ 9,4868.

Площадь по формуле Герона S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).

Полуперимето р = 12,4073.

Подставив значения, получаем S = 9.

Тогда ВД = 2S/AC = 2*9/√90 = 6/√10 ≈ 1,8974.

(2) Приравниваем уравнения АС и ВД.

3х - 8 = (-1/3)х - 4

(10/3)х = 4,    х = 12/10 = 1,2.    у = 3*1,2 - 8 = -4,4.

ВД = √((1,2 - 3)² + (-4,4 + 5)²) = √3,6  ≈ 1,8974.

Answer 2

Для начала найдем координаты точки D, которая является основанием высоты, проходящей через вершину B. Для этого нужно найти середину стороны AC, что можно сделать, используя формулу середины отрезка:

x_D = (x_A + x_C) / 2 = (2 + 5) / 2 = 3.5 y_D = (y_A + y_C) / 2 = (-2 + 7) / 2 = 2.5

Точка D имеет координаты (3.5, 2.5). Теперь нужно найти уравнение прямой, содержащей высоту BD. Для этого вычислим угловой коэффициент этой прямой, используя координаты точек B и D:

k = (y_D - y_B) / (x_D - x_B) = (2.5 - (-5)) / (3.5 - 3) = 7.5 / 0.5 = 15

Затем найдем точку пересечения этой прямой с прямой, содержащей сторону BC. Для этого можно воспользоваться уравнением прямой, проходящей через точки B и C, которое можно найти, используя формулу углового коэффициента:

k_BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (7 - (-5)) / (5 - 3) = 6

Таким образом, уравнение прямой BC имеет вид:

y - y_B = k_BC * (x - x_B) y + 5 = 6 * (x - 3) y = 6x - 23

Теперь мы можем записать уравнение прямой, содержащей высоту BD, используя точку B и угловой коэффициент, который мы вычислили ранее:

y - y_B = k * (x - x_B) y + 5 = 15 * (x - 3) y = 15x - 50

Наконец, найдем точку пересечения этих двух прямых, которая будет являться концом высоты BD. Для этого нужно решить систему уравнений:

y = 6x - 23 y = 15x - 50

Вычитая первое уравнение из второго, получим:

9x = 27 x = 3

Подставляя значение x в одно из уравнений, получим:

y = 6 * 3 - 23 = -11

Точка пересечения прямых имеет координаты (3, -11), что и является концом высоты BD. Длину этой высоты можно найти, используя расстояние между точк