Question

В трапеції ABCD (AD паралельно BC) кут ВАС = куту CDA, ВС = 2 см, AD= 8см. Знайдіть діагональ АС.

Answer 1

Рассмотрим ΔАВС и ΔDСА: уголВАС=углуCDA, уголBCA=углуСAD ⇒ ΔАВС и ΔDСА похожие
AC=CD=х
BC/CD=AC/AD
2/x=x/8
x²=16
x=4
Ответ: AC=4

Answer 2

За умовою, кут ВАС = куту CDA, отже, трапеція ABCD є рівнобічною трапецією.

Оскільки AD || BC, то кути BCD та CDA є взаємно доповнювальними.

Застосуємо теорему Піфагора до трикутника BCD:

BD^2 = BC^2 + CD^2

Оскільки трапеція ABCD є рівнобічною, то BD = AC.

Застосуємо теорему синусів до трикутника BCD:

sin(BDC) / BD = sin(BCD) / CD

Оскільки кути BCD та CDA є взаємно доповнювальними, то sin(BCD) = sin(CDA).

Також, оскільки кут ВАС = куту CDA, то sin(BAC) = sin(ACD).

Застосовуючи ці співвідношення до трикутника BCD, маємо:

sin(BDC) / AC = sin(CDA) / CD

sin(BDC) / AC = sin(BAC) / CD

Застосуємо теорему синусів до трикутника ABC:

sin(BAC) / AC = sin(BCA) / BC

Оскільки BC = 2 см, то sin(BCA) = BC / AC.

Підставляючи ці співвідношення одне в одне, маємо:

sin(BDC) / sin(BCA) = CD / BC

Застосуємо теорему синусів до трикутника ACD:

sin(BCA) / AD = sin(CDA) / CD

Оскільки sin(BCA) = BC / AC і sin(CDA) = sin(BAC), то маємо:

BC / AC / AD = sin(BAC) / CD

Оскільки AD = 8 см, BC = 2 см і sin(BAC) = sin(ACD), то маємо:

2 / AC / 8 = sin(ACD) / CD

AC^2 = 32CD

Застосуємо теорему Піфагора до трикутника ACD:

AC^2 = AD^2 + CD^2

Підставляючи AC^2 з попереднього рівняння, маємо:

32CD = AD^2 + CD^2

CD^2 - 32CD + 64 = 0

( CD - 16 )^2 = 0

CD = 16 см

Оскільки трапеція ABCD є рівнобічною, то BD = AC.

Застосовуючи теорему Піф