Question

В прямоугольном треугольнике ABC известно, что отрезок, соединяющий середины катетов AB и AC равен 12. Найдите длину медианы AM треугольника ABC.

Answer 1

Вроде будет 6 см 

Так как медиана делит основание пополам 

 

Answer 2

Пусть $M$ - середина гипотенузы $BC$, тогда медиана $AM$ делит гипотенузу $BC$ пополам. Обозначим длину катетов $AB$ и $AC$ через $b$ и $c$ соответственно, а длину гипотенузы $BC$ через $a$. Так как отрезок, соединяющий середины катетов $AB$ и $AC$, равен 12, то $AM=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2-24^2}$.

Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, то по теореме Пифагора $a^2=b^2+c^2$. Подставляя это в выражение для $AM$, получаем:

$$AM = \frac{1}{2}\sqrt{a^2-24^2} = \frac{1}{2}\sqrt{(2a)(2a-48)}=\frac{1}{2}\sqrt{2a\cdot(2a-48)}=\frac{1}{2}\sqrt{4(a-12)^2-144}.$$

Таким образом, длина медианы $AM$ равна $\frac{1}{2}\sqrt{4(a-12)^2-144}$. Осталось найти длину гипотенузы $a$.

Из условия задачи известно, что отрезок, соединяющий середины катетов $AB$ и $AC$, равен 12. Поэтому по теореме о медиане треугольника мы можем записать:

$$\frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{4}(b^2+c^2) - \frac{1}{16} \cdot 12^2 = \frac{1}{4}(b^2+c^2) - 27.$$

Так как $a^2=b^2+c^2$, получаем:

$$\frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}b^2 - 27 \quad \Rightarrow \quad a^2 = b^2 + 2 \cdot 27 = b^2 + 54.$$

Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, то по теореме Пифагора $a^2=b^2+c^2$, откуда следует, что $c^2=a^2-b^2=54$. Таким образом, $c=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$. Осталось найти $a$:

$$a^2 = b^2 + 54 = (c^2 - b^2) + 54 = 54 + 2b^2 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{54 + 2b^2}.$$

Итак, длина гипотенузы $a$ равна $\sqrt{54 + 2b^2}$, а длина медианы $AM$ равна