Question

можно ли около четырехугольника вписать окружность ,если его углы последовательно относятся к 5:7:8:9

Answer 1

"Около 4-угольника вписать окружность" - очень крутая фраза. Думаю, что Вы имели в виду около 4-угольника описать окружность; на этом и остановимся. Известно, что если около 4-угольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны 180°. Если же углы относятся как 5:7:8:9, то первый угол меньше второго, третий меньше четвертого ⇒сумма первого и третьего будет меньше суммы второго и четвертого. А как написано выше, сумма первого и третьего должна равняться сумме второго и четвертого.

Ответ: нельзя 

Answer 2

Да, вписать окружность в четырехугольник можно, если его углы последовательно относятся к 5:7:8:9.

Для того чтобы вписать окружность в четырехугольник, нужно чтобы сумма противоположных углов была равна 180 градусам. В четырехугольнике со сторонами a, b, c, d и углами A, B, C, D, можно записать следующую формулу:

asin(A) + bsin(B) + csin(C) + dsin(D) = 0

При этом радиус окружности, вписанной в четырехугольник, будет равен:

r = sqrt(((s-a)(s-b)(s-c)*(s-d))/s),

где s=(a+b+c+d)/2 - полупериметр четырехугольника.

Рассчитаем значения углов A, B, C и D, если они относятся к 5:7:8:9. Пусть x - множитель, тогда:

A = 5x, B = 7x, C = 8x, D = 9x.

Тогда сумма углов будет равна:

5x + 7x + 8x + 9x = 29x.

Так как сумма углов четырехугольника должна быть равна 360 градусам, то:

29x = 360, x = 360/29.

Теперь мы знаем значения углов A, B, C и D:

A = 5360/29, B = 7360/29, C = 8360/29, D = 9360/29.

Мы также можем рассчитать длины сторон a, b, c и d с помощью закона косинусов:

a^2 = r^2 + r^2 - 2rrcos(A/2 + B/2), b^2 = r^2 + r^2 - 2rrcos(B/2 + C/2), c^2 = r^2 + r^2 - 2rrcos(C/2 + D/2), d^2 = r^2 + r^2 - 2rrcos(D/2 + A/2).

Таким образом, мы можем рассчитать радиус и длины сторон четырехугольника, и если все значения являются положительными, то мы можем утверждать, что вписанная окружность может быть построена.