Question

Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины анибольшего угла прямоугольного треугольника равен 14 градусов. Найдите острые углы данного треугольника.

Answer 1

Дано: Δ АВС, < А = 90°, AF высота, AO биссектрисса, <OAF=14°;

Найти: <В, <С;

Решение. 1) Рассмотрим ΔOAF - прямоугольный, т.к. AF высота , зная, что <OAF=14°, =180°-<AFO-<OAF, <AOF=180°-90°-14°=76°(по свойству Δ-ка);

2) Рассмотрим Δ АОВ, Поскольку AO биссектрисса , то <BAO=<OAC, значит <ВАО=45°;

<АОВ=180°-<АОС, <АОВ=180°-76°=104°(как смежные), <АВО=180°-<ВАО-<АОВ, <АВО=180°-45°-104°=49°(по свойству Δ-ка);

3)<ВСА=180°-<АВС-<ВАС, <ВСА=180°-49°-90°=60°( по свойству Δ-ка).

Ответ: <А=90°; <В=49°; <С=60°.

 

Answer 2

Пусть прямоугольный треугольник имеет вершины A, B и C, при этом угол ACB является прямым. Пусть биссектриса угла CAB пересекает сторону BC в точке D, а высота, проведенная из вершины C, пересекает сторону AB в точке E. Тогда угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины C, равен 14 градусов.

Так как угол ACB прямой, то углы CAB и CBA являются острыми. Рассмотрим треугольник ACE. По условию, CE является высотой, поэтому угол ACE тоже острый. Также угол ACD является половиной угла CAB, поэтому он тоже острый. Значит, углы EAC и CAD острые.

Таким образом, острые углы треугольника ACB равны EAC и CAD. Поэтому, чтобы найти значения этих углов, нам нужно найти угол ACB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Так как угол ACD является половиной угла CAB, мы можем записать, что:

ACD = 0.5 * CAB

Но угол ACB равен 90 градусов, поэтому:

ACB = CAB + CBA = 90 градусов

Следовательно, мы можем выразить угол CAB через угол ACD:

CAB = 2 * ACD

Но мы также знаем, что угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины C, равен 14 градусов. Поэтому:

EAC = 90 - ACB/2 - 14 = 43 - ACB/2

CAD = ACB/2

Теперь осталось найти угол ACD. Рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем, что угол CAD равен ACB/2. Также мы можем выразить угол ACD через угол BAC:

ACD = 180 - BAC - CAD = 180 - BAC - ACB/2

Но мы также знаем, что угол BAC равен 90 - CAB/2. Поэтому:

ACD = 90 + CAB/2 - ACB/2 = 90 + ACD - ACB/2 - ACB/2

Решая это уравнение относительно ACD, получим:

ACD = (90 - ACB/2) / 3

Теперь мы можем выразить углы EAC и CAD через ACB: