Question

в выпуклом четырёхугольнике abcd все стороны имеют разные длины Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке О. ОС = 5 см, ОВ = 6 см, ОА = 15 см, OD = 18 см. а) Докажите, что четырехугольник ABCD является трапецией. б) Найдите отношение площадей треугольников AOD и ВОС.  Срочноо.

Answer 1

Треугольники ВОС и АОD подобны, так как <BOC=<AOC (вертикальные), а ВО/ОD=СО/ОА=1/3 (коэффициент подобия). В подобных треугольниках соответственные углы равны, то есть <BCA=<CAD, а это внутренние накрест лежащие углы при прямых ВС и АD и секущей АС. Следовательно, ВС параллельна АD и фигура АВСD - трапеция (АВ и СВ - не параллельны).
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента их подобия.
Следовательно, Sboc/Saod=1/9.

Answer 2

а) Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является трапецией, нужно показать, что одна из его сторон параллельна другой стороне. Рассмотрим треугольники ОВС и ОАD. Они имеют общую сторону ОС и равные соответственные углы при вершине О, так как это диагонали четырехугольника. Также известно, что сторона ОВ меньше стороны ОА, а сторона ОС меньше стороны ОD. Из этих фактов следует, что углы при вершине С в треугольнике ОВС меньше, чем углы при вершине D в треугольнике ОАD. Следовательно, сторона AB должна быть параллельна стороне CD, и четырехугольник ABCD является трапецией.

б) Площадь треугольника AOD можно найти, используя формулу Герона для вычисления площади треугольника по длинам его сторон:

p = (15 + 18 + 20) / 2 = 26 (где p - полупериметр) S(AOD) = √(26(26-15)(26-18)(26-20)) = 156

Площадь треугольника ВОС также можно найти, используя формулу Герона:

p = (5 + 6 + 20) / 2 = 15.5 S(ВОС) = √(15.5(15.5-5)(15.5-6)(15.5-20)) = 31

Отношение площадей треугольников AOD и ВОС равно:

S(AOD) / S(ВОС) = 156 / 31 = 5

Ответ: отношение площадей треугольников AOD и ВОС равно 5.