Question

радіус кола описаного навколо правильного многокутника дорівнює 6корінь3 см, а радіус вписаного в нього кола - 9 см, Скільки сторін має многокутник

Answer 1

Можна розв'язувати двома способами: виконати побудову, або скористатись формулами радіусів. З побудовою швидше.

Отже, якщо побудувати сторону і кола та провести радіуси, отримаємо прямокутний трикутник з гіпотенузою 6 коренів з 3 і катетом 9 у якому прилеглий кут є половиною центрального кута даного многокутника .

Косинус цього кута дорівнює 9 поділити на 6 корінь 3, тобто корінь 3 на 2. Це кут 30 градусів, а отже центральний кут 30 *2= 60 гр.

Многокутник правильний отже його центральний кут дорівнює 360 гр. поділити на кількість сторін. Ділимо 360 на 60 , маємо 6 ( сторін).

Answer 2

Для правильного многокутника з n сторон, радіус описаного кола R і радіус вписаного кола r пов'язані зі стороною a наступними формулами:

R = a / (2 sin(pi/n)) r = a / (2 tan(pi/n))

де pi - математична константа, що дорівнює близько 3.14159.

За умовою, радіус вписаного кола дорівнює 9 см, тому ми можемо записати:

a / (2 tan(pi/n)) = 9

Розв'язуючи це рівняння, ми отримуємо значення сторони a:

a = 18 tan(pi/n)

Далі, за умовою радіус описаного кола дорівнює 6 корінь 3 см, тому ми можемо записати:

a / (2 sin(pi/n)) = 6 корінь 3

Замінюючи a на 18 tan(pi/n), ми отримуємо:

18 tan(pi/n) / (2 sin(pi/n)) = 6 корінь 3

Після спрощення ми отримуємо:

tan(pi/n) = корінь 3 / 3

Використовуючи таблицю тангенсів, ми можемо знайти значення кута:

pi/n = 60 градусів

Отже, многокутник має 6 сторін, оскільки в правильному шестикутнику кожен кут дорівнює 120 градусів (360 градусів / 6 сторін).