Question

50+25 баллов! Помогите , пожалуйста с геометрией! Радиус шара равен образующей конуса, при этом образующая составляет с основанием конуса угол в 60 ° . Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади сферы, ограничивающей данный шар.

Answer 1

Площадь сферы
S₁ = 4πR²
Площадь боковой поверхности конуса
S₂ = πRr
R - образующая
r - радиус основания конуса
r = R*cos(60°)
S₂ = πR²*cos(60°) = πR²/2
---
S₂/S₁ = πR²/2/4πR² = 1/8

Answer 2

Для решения задачи нужно выразить радиус сферы через радиус конуса и затем вычислить соотношение площадей.

Обозначим радиус конуса как r. Тогда, согласно условию, образующая конуса также равна r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, состоящий из половины образующей конуса (то есть, r/2), радиуса сферы (обозначим его R) и высоты сферы, проходящей через центр шара и перпендикулярной к основанию конуса. Угол между образующей и радиусом сферы равен 30°, так как это половина угла между образующей и основанием конуса.

Используя тригонометрию прямоугольного треугольника, можем выразить R:

sin(30°) = r/2R R = r/(2sin(30°)) = r/(2*1/2) = r

Таким образом, радиус сферы равен радиусу конуса.

Теперь можем вычислить отношение площадей боковой поверхности конуса к площади сферы:

S_конуса = πr√(r²+h²), где h - высота конуса. В данной задаче, h = r√3, так как это высота правильного треугольного основания конуса с углом 60°. S_конуса = πr√(r²+(r√3)²) = πr√(4r²) = 2πr²√2

S_сферы = 4πr²

Отношение площадей:

S_конуса / S_сферы = (2πr²√2) / (4πr²) = √2/2

Итак, отношение площади боковой поверхности конуса к площади сферы равно √2/2.