Question

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: ее основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендекулярны.с различных источниках не надо

Answer 1

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла,
делит гипотенузу на отрезки так, что квадрат высоты равен произведению этих отрезков. В нашем случае равнобедренной трапеции высота трапеции, проведенная к основаниям через точку пересечения диагоналей, делит эти основания пополам. Таким образом, в нижнем прямоугольном треугольнике ( диагонали перпендикулярны) h1² = 15*15, откуда h1=15. В верхнем прямоугольном треугольнике h2² = 8*8, откуда h2=8. Тогда высота трапеции равна h1+h2=15+8 = 23.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то есть (16+30):2*23 = 23*23 =529см².
Или надо рисунок?

Answer 2

Из условия задачи, мы знаем, что диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Пусть $d_1$ и $d_2$ - длины диагоналей, $a$ и $b$ - длины оснований, $h$ - высота трапеции.

Так как трапеция равнобедренная, то ее диагонали $d_1$ и $d_2$ равны между собой и половина разности оснований равна высоте $h$.

Из прямоугольного треугольника, образованного диагоналями и высотой трапеции, мы можем выразить $h$:

$h = \frac{1}{2} \sqrt{d_1^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$

Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то $d_1^2 + d_2^2 = (a+b)^2$.

Решая систему уравнений, мы можем выразить $d_1$ и $d_2$:

$d_1 = \sqrt{a^2 - h^2}$

$d_2 = \sqrt{b^2 - h^2}$

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{a+b}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{d_1^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$

Подставляя значения, получаем:

$S = \frac{16+30}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\left(\sqrt{16^2-\left(\frac{30-16}{2}\right)^2}\right)^2 - \left(\frac{30-16}{2}\right)^2} \approx 217.09 \text{ см}^2$

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна примерно 217.09 квадратных сантиметров.