Question

Диагонали AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответсвенно 25 см2 и 16 см2. Найдите площадь трапеции

Answer 1

Очень подробно. 

Треугольники AOD и BOC подобны по свойству трапеции. 
Площади подобных треугольников относятся, как квадраты коэффициента их подобия
25:16=k² 
k=√(25:16)=5:4
Следовательно, основания трапеции относятся, как 5:4
Обозначим 
высоту ᐃ ВОС=h₁
высоту ᐃ АОD=h₂
S АОD=h₂·АD:2
S ВОС=h₁·ВС:2

Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований:

Высота трапеции Н
S ABCD=Н·(АD+ВС):2
Н=h₂+h₁
S ABCD =(h₁+h₂)·(АD+ВС):2=
=h₁·АD+h₂·АD+h1·ВС+h₂·ВС
-------------------

1) 
Применим свойство пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению крайних.
h₂:h₁=5:4
4h₂=5h₁
h₂=5h₁/4 
S AOD=h₂·АD:2=5h₁/4·АD:2
25=5h₁/4·АD:2 Умножим на два обе части уравнения
12,5=5h₁/4·АD 
5h₁/4 =12,5:AD
h₁:4=2,5:AD
h₁·AD= 4·2,5 =10 см²

Т.к. площади боковых треугольников у трапеции равны  равны, то h₂·ВС=10 см² 

 

----------------Проверим это:
2)
h₂:h₁=5:4
5h₁=4h₂
h₁=4h₂/5 
S ВОС=h₁·ВС:2=4h₂/5·ВС:2 
16=4h₂/5·ВС:2 Умножим на два обе части уравнения
8=4h₂/5·ВС
4h₂:5=8:ВС
4h₂·ВС=8·5=40
h₂·ВС=40:4=10 см²
--------------------
3) Подставим значения  h₂·ВС и h₁·AD в уравнение площади трапеции

S ABCD=h₁·АD+25+16+h₂ВС=41+=h₁·АD+h₂·ВС =
S ABCD=10+25+16+10= 61 см

Answer 2

Площади треугольников АВО и СОD равны(это доказывается из свойства трапеции)=S0

S1=16   S2=25

Из метода площадей четырехугольника 

S1/S0=S0/S2

sqrt(S1S2)=S0=20

Sabcd=20+20+25+16=82

Answer 3

Обозначим основания трапеции как $AB$ и $CD$, а высоту как $h$. Так как диагонали пересекаются в точке $O$, то $AO = OD$ и $BO = OC$. Пусть $x = AO = OD$ и $y = BO = OC$. Тогда, по свойству трапеции, имеем:

$\frac{h}{2}(AB+CD) = 25+16 = 41$

$h(AB+CD) = 82$

Из треугольника $AOD$ следует, что его площадь равна:

$\frac{1}{2}\cdot x\cdot h = 25$

Из треугольника $BOC$ следует, что его площадь равна:

$\frac{1}{2}\cdot y\cdot h = 16$

Откуда получаем:

$h = \frac{50}{x}, \quad h = \frac{32}{y}$

Подставляем выражения для $h$ в уравнение для оснований:

$\frac{50}{x}(AB+CD) = 82, \quad \frac{32}{y}(AB+CD) = 82$

Выражаем $AB+CD$ через $x$ и $y$:

$AB+CD = \frac{82x}{50} = \frac{82y}{32}$

Отсюда получаем:

$x = \frac{25\sqrt{41}}{41}, \quad y = \frac{16\sqrt{41}}{41}$

Подставляем найденные значения $x$ и $y$ в выражения для высоты $h$:

$h = \frac{50}{25\sqrt{41}/41} = 2\sqrt{41}, \quad h = \frac{32}{16\sqrt{41}/41} = 2\sqrt{41}$

Таким образом, площадь трапеции равна:

$S = \frac{h}{2}(AB+CD) = 2\sqrt{41}\cdot\frac{82}{2} = \boxed{82\sqrt{41}~\text{см}^2}$