Question

Диагональ равнобедренной трапеции делит тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3, ее периметр равен 42. Найдите высоту трапеции.

Answer 1

Если равны углы при диагонали, то один из треугольников, образуемых данной диагональю, является равнобедренным. Следовательно большее основание равно обеим боковым сторонам.

Пусть основание - х.
P = 3+х+х+х
3+3х = 42
3х = 39
х = 13 - большее основание.
меньшая часть основания, отсекаемого высотой, равна:
(13-3):2 = 5
 находим  высоту равнобедренной трапеции - по теореме пифагора в треугольнике, составленным высотой, боковой гранью и меньшей частью основания, отсекаемой этой высотой.
h = √( 13 ²-5²) = √144 = 12
находим площадь:
S = 1\2(a+b)*h = 1\2(3+13)*12 = 192\2 = 96

Answer 2

Обозначим вершины трапеции как $ABCD$, где $AB$ и $CD$ - основания, а $BC$ и $AD$ - боковые стороны. Так как угол $BCD$ тупой и диагональ $BD$ делит его пополам, то треугольник $BCD$ является прямоугольным и острый угол находится между сторонами $BC$ и $BD$. Так как трапеция равнобедренная, то $AD=BC=x$.

Заметим, что $ABCD$ можно разделить на два прямоугольных треугольника $ABD$ и $CBD$. Рассмотрим треугольник $BCD$. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 = x^2 + h^2,$

где $h$ - высота трапеции. Так как $BD$ является диагональю трапеции, то она равна:

$BD = \sqrt{(AB - CD)^2 + h^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + h^2}.$

Также из условия задачи известно, что периметр трапеции равен 42:

$AB + BC + CD + DA = 2x + 3 = 42,$

откуда получаем:

$x = 19.5.$

Теперь мы можем решить систему уравнений:

BD = \sqrt{(x + 3)^2 + h^2} \\ BD = 2x \end{cases}$$ Подставляя $x=19.5$ и приравнивая выражения для $BD$, получаем: $$2x = \sqrt{(x + 3)^2 + h^2}.$$ Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем: $$4x^2 = (x + 3)^2 + h^2.$$ Раскрывая скобки, получаем: $$4x^2 = x^2 + 6x + 9 + h^2.$$ Выражая $h^2$, получаем: $$h^2 = 3x^2 - 6x - 9 = 1098.75.$$ Таким образом, высота трапеции равна: $$h = \sqrt{1098.75} \approx 33.13.$$ Ответ: высота трапеции равна примерно 33.13.