Question

У треугольной пирамиды есть три взаимно перпендикулярные грани длиной 14 см, 7 см, 21 см. Определи объём пирамиды. Ответ: V = ... см3

Answer 1

Рассмотрим  пирамиду, которая имеет три взаимно перпендикулярные грани и рёбра на пересечении этих граней имеют длину 14, 7 и 21 см.
Одну из перпендикулярных плоскостей с рёбрами 14 и 7 см примем за основу пирамиды, высота пирамиды будет тогда Н = 21 см.
So = (1/2)14*7 = 49 см².
Тогда объём S пирамиды равен:
S = (1/3)SoH = (1/3)*49*21 = 343 см³.

Answer 2

Для решения задачи можно воспользоваться формулой для объема пирамиды:

V = (1/3) * S_base * h,

где S_base - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Так как у треугольной пирамиды три взаимно перпендикулярные грани, то ее основание - это треугольник со сторонами 14 см, 7 см и 21 см. Чтобы найти площадь такого треугольника, можно воспользоваться формулой Герона:

p = (a + b + c) / 2,

S_base = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где a, b, c - длины сторон треугольника, p - полупериметр треугольника.

Вычислим сначала полупериметр:

p = (14 + 7 + 21) / 2 = 21.

Затем найдем площадь основания:

S_base = sqrt(21 * (21 - 14) * (21 - 7) * (21 - 21)) = 42 см^2.

Осталось найти высоту пирамиды. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора, так как пирамида является прямоугольной:

h^2 = a^2 + b^2 + c^2,

где a, b, c - длины ребер, выходящих из вершины пирамиды и перпендикулярных к граням основания.

Вычислим длины таких ребер:

a = 14 / 2 = 7,

b = 7 / 2 = 3.5,

c = 21 / 2 = 10.5.

Тогда:

h^2 = 7^2 + 3.5^2 + 10.5^2 = 140.5,

h = sqrt(140.5) ≈ 11.85 см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды:

V = (1/3) * S_base * h = (1/3) * 42 * 11.85 ≈ 158.4 см^3.

Ответ: V = 158.4 см^3.