Question

На отрезке АС как на основании построены по разные стороны от него два равнобедренных треугольника АВС и АDC. Докажите, что BD и АС перпендикулярны.

Answer 1

Доказательство:
Проведём высоту в треугольнике АВС и высоту в треугольнике АДС. Т.к. по условию, данные треугольники равнобедренные, то эти высоты являются медианами треугольников АВС и АДС и эти высоты делят общее основание АС пополам. Получаем, что высоты треугольников АВС и АДС падают в одну и ту же точку О, поэтому отрезки ВО и ДО лежат на одной прямой ВД.
Т.к. ВО и ДО -высоты, то ВО и ДО перпендикулярны общему основанию АС, значит и ВД перпендикулярна АС.
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности отрезков BD и AC мы можем использовать свойство равнобедренных треугольников.

Так как треугольник ABC и треугольник ADC являются равнобедренными, то у них равны основания AB и CD, и у них равны углы при вершине A и при вершине D.

Заметим, что угол ABD в треугольнике ABD равен углу ACD в треугольнике ADC, так как это вертикально противоположные углы.

Также, угол ABC в треугольнике ABC равен углу ADC в треугольнике ADC, так как это вертикально противоположные углы.

Таким образом, у треугольника ABD и треугольника ADC равны два угла (ABD и ACD) и один основание AC, следовательно, эти треугольники равны друг другу по признаку равенства двух углов и основания.

Отсюда следует, что отрезок BD, являющийся медианой в треугольнике ABD, перпендикулярен к основанию AC.

Таким образом, мы доказали, что BD и AC перпендикулярны, что и требовалось доказать.