Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD отмечена точка M — середина ребра SB. Найдите расстояние между точками M и D (в см), если сторона основания равна √2/3 см, и угол между прямой SB и плоскостью ABC равен 60 градусов

Answer 1

Проведём осевое сечение пирамиды через вершины В и Д.
Получим равносторонний треугольник SBД (углы по 60 градусов).
В основании - диагональ ВД квадрата АВСД - равная (√2/3)*√2 = 2/3 см (и все стороны равны этой величине).
Отрезок ДМ - это медиана равностороннего треугольника SBД (она же и высота, и биссектриса).
ДМ = ВД*cos30° = (2/3)*(√3/2) = √3/3 см.

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать теорему Пифагора и свойства прямых в пространстве.

Пусть точка A находится на основании SABCD противоположно точке M, то есть AM и MD - высоты пирамиды. Обозначим сторону основания через a, тогда ее длина равна √2/3 см.

Заметим, что треугольник SAB прямоугольный, так как угол между прямой SB и плоскостью ABC равен 60 градусов. Значит, по теореме Пифагора:

SA² = SB² - AB²

Так как AB = a, а SB = 2AM (так как M - середина SB), то:

SA² = (2AM)² - a² = 4AM² - a²

Аналогично, можно показать, что:

SD² = (2DM)² - a² = 4DM² - a²

Так как SABCD - правильная пирамида, то все ее боковые грани равны и подобны, а значит, высоты AM и DM равны. Обозначим их общую длину через h.

Тогда из равенства AM = DM = h/2 следует, что:

4AM² - a² = 4DM² - a²

4(h/2)² - a² = 4(h/2)² - a²

h²/4 = a²/4

h² = a²

h = a = √2/3 см

Таким образом, расстояние между точками M и D равно высоте пирамиды h, то есть √2/3 см.