Question

В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке K, KC=6 см, AK= 8 см, BK+DK= 28 см. Найдите произведение BK и DK

Answer 1

Минут 5 ломал голову, с чего вообще начать) Потом вспомнил про подобие треугольников.

1. Проведём отрезки BD и AC (см. рисунок). Треугольники, образованные таким образом, будут подобными, поскольку у них равные углы при вершине K, а также угол C равен углу B (потому что они опираются на одну и ту же дугу), из чего по первому признаку подобия треугольников следует их подобие.

2. Значит, стороны треугольников пропорциональны. Очевидно, что если их сумма в два раза больше суммы другого треугольника, то и стороны тоже в два раза больше:
$BK=2KC=12\\DK=2AK=16.$

3. Их произведение $12*16=192.$

Answer 2

Для решения задачи можно воспользоваться свойством пересекающихся хорд: произведение отрезков каждой хорды равно.

То есть, в данном случае, мы можем написать:

BK × DK = AK × CK - BK × KC

Мы знаем значения AK и KC из условия, поэтому осталось найти значение BK.

Заметим, что из треугольника ABK можно найти значение AB с помощью теоремы Пифагора:

AB² = AK² + BK²

BK² = AB² - AK²

Аналогично, из треугольника KCD можно найти значение CD:

CD² = CK² + DK²

DK² = CD² - CK²

Также, мы знаем, что BK + DK = 28 см. Подставляем найденные выражения для BK² и DK²:

AB² - AK² + CD² - CK² = 28²

AB² + CD² = 28² + AK² + CK²

Теперь мы можем использовать тот факт, что AB × CD = BK × DK:

AB × CD = √(AB² × CD²)

AB × CD = √((AK² + BK²) × (CK² + DK²))

AB × CD = √(AK² × CK² + AK² × DK² + BK² × CK² + BK² × DK²)

AB × CD = √(8² × 6² + 8² × DK² + BK² × 6² + BK² × DK²)

AB × CD = √(64 × 36 + 8² (DK² + BK² + 9 × 4))

AB × CD = √(2304 + 64(DK² + BK² + 36))

AB × CD = √(64(DK² + BK² + 36) + 2304)

AB × CD = √(64(DK² + BK² + 36)) + 48

Теперь мы можем выразить произведение BK × DK через AB и CD:

BK × DK = (AB × CD) / √(64(DK² + BK² + 36)) + 48

Подставляем известные значения:

BK × DK = (8 × 6) / √(64(DK² + BK² + 36)) + 48

BK × DK = 48 / √(64(DK² + BK² + 36)) + 48

Вычитаем 48 из обеих частей:

BK × DK - 48 = -48 / √(64(DK² + BK² + 36))

Умножаем обе части на -1:

48 - BK × DK = 48 / √(64(DK² + BK² + 36))

Умножаем обе части на √(64(DK² + BK² + 36)):

(48 - BK × DK) √(64(DK² + BK² + 36)) = 48

48√(64(DK² + BK² + 36)) - BK × DK √(64(DK² + BK² + 36)) = 48

BK × DK √