Question

Отрезок АЕ-биссектриса угла А треугольника АВС. Луч АК перпендикулярен АЕ. Докажите, что луч АК-биссектриса внешнего угла треугольника при вершине А.

Answer 1

   Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.⇒ Из суммы углов треугольника  ∠BAD=∠B+∠C=180°-∠A. По условию ∠КАЕ=90°. ⇒ ∠КАВ=90°-∠ВАЕ=90°- 0,5∠А. Угол КАD=180°-∠ВАК=∠180°-∠A-(90°-0,5<A)=90°-0,5∠A. ⇒ углы KAD и КАВ равны, поэтому луч АК - биссектриса внешнего угла ∆ АВС при вершине А.

Answer 2

Для доказательства, что луч АК является биссектрисой внешнего угла треугольника при вершине А, мы должны показать, что он делит этот угол на два равных угла.

Предположим, что луч АК не является биссектрисой внешнего угла треугольника при вершине А. Тогда существует точка D на луче АК, такая что угол DAB (угол между лучом АК и стороной AB) не равен углу DAC (угол между лучом АК и стороной AC).

Так как луч АК перпендикулярен отрезку АЕ (который является биссектрисой угла А), то углы DAE и EAK равны между собой (по определению перпендикуляра).

Теперь рассмотрим треугольникы DAB и DAC. У нас есть углы DAE и EAK, которые равны друг другу, а также сторона АЕ, которая общая для обоих треугольников.

По теореме угла-при-основании, если два треугольника имеют два равных угла и общую сторону между ними, то эти треугольники равны.

Таким образом, треугольники DAB и DAC равны, а значит угол DAB должен быть равен углу DAC. Но мы предположили, что углы DAB и DAC не равны, что противоречит нашему предположению.

Следовательно, наше предположение неверно, и луч АК действительно является биссектрисой внешнего угла треугольника при вершине А.