Question

На стороне ab треугольника abc взята такая точка M, что IAMI:IMBI = 1:1. Вычислить MC, если вектор AC = a, ВС = 2a, угол ACB = 60 градусам

Answer 1

Решение в скане...........

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами векторов и соотношениями из геометрии.

Пусть вектор AC обозначает вектор a, а вектор BC обозначает вектор 2a.

Так как IAMI:IMBI = 1:1, то вектор IM можно представить как сумму векторов AI и AM, а вектор IMB можно представить как сумму векторов BI и BM.

Тогда вектор AI можно представить как (1/2)IM, а вектор BI можно представить как (1/2)IMB.

Так как угол ACB равен 60 градусам, вектор AB будет равен вектору AC + вектору CB.

Вектор AB = a + 2a = 3a.

Так как точка M делит отрезок AB пополам, вектор AM будет равен (1/2)AB = (1/2)(3a) = (3/2)a.

Теперь мы можем выразить вектор IM и вектор IMB с использованием векторов AI, AM, BI и BM:

Вектор IM = вектор AI + вектор AM = (1/2)IM + (3/2)a.

Вектор IMB = вектор BI + вектор BM = (1/2)IMB + BM.

Так как IAMI:IMBI = 1:1, то вектор IM = вектор IMB.

Следовательно, (1/2)IM + (3/2)a = (1/2)IMB + BM.

Из этих двух уравнений мы можем выразить BM:

(1/2)IM + (3/2)a = (1/2)IMB + BM.

(1/2)IMB = (1/2)IM + (3/2)a - BM.

BM = (1/2)IMB - (1/2)IM - (3/2)a.

Теперь осталось найти величину вектора BM. Подставим векторы, которые у нас есть:

BM = (1/2)IMB - (1/2)IM - (3/2)a.

BM = (1/2)IMB - (1/2)(1/2)IM - (3/2)a.

BM = (1/2)IMB - (1/4)IM - (3/2)a.

Так как IAMI:IMBI = 1:1, вектор IMB = -IM.

Тогда мы можем переписать выражение для вектора BM:

BM = (1/2)(-IM) - (1/4)IM - (3/2)a.

BM = -(1/2)IM - (1/4)IM - (3/2)a.

BM = -(3/4)IM - (3/2)a.

Таким образом, вектор MC будет равен противоположному вектору BM:

MC = -BM = (3/4)IM + (3/2)a